Двустороннее преобразование Лапласа

18.08.2023

Двустороннее преобразование Лапласа — интегральное преобразование, тесно связанное с преобразованием Фурье, преобразованием Меллина, а также с обычным и односторонним преобразованием Лапласа.

Определение

Если f ( t ) {displaystyle f(t)} является вещественной или комплексной функцией действительной переменной t ∈ R {displaystyle tin mathbb {R} } , то двустороннее преобразование Лапласа B { f ( t ) } {displaystyle {mathcal {B}}left{f(t) ight}} задаётся формулой

B { f ( t ) } = F ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − s t f ( t ) d t . {displaystyle {mathcal {B}}left{f(t) ight}=F(s)=int _{-infty }^{infty }e^{-st}f(t),dt.}

Интеграл в этом определении подразумевается несобственным и сходящимся тогда, когда существуют { ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t ∫ − ∞ 0 e − s t f ( t ) d t {displaystyle left{{egin{matrix}int _{0}^{infty }e^{-st}f(t),dt\int _{-infty }^{0}e^{-st}f(t),dtend{matrix}} ight.}

Иногда двусторонние преобразования записывают в виде

T { f ( t ) } = s B { f } = s F ( s ) = s ∫ − ∞ ∞ e − s t f ( t ) d t . {displaystyle {mathcal {T}}left{f(t) ight}=s{mathcal {B}}left{f ight}=sF(s)=sint _{-infty }^{infty }e^{-st}f(t),dt.}

Вообще, переменная t {displaystyle t} может быть как вещественной, так и комплексной величиной.

Связь с другими интегральными преобразованиями

• Если u ( t ) {displaystyle u(t)} — функция Хевисайда, то обычное преобразование Лапласа L {displaystyle {mathcal {L}}} может быть выражено через двустороннее формулой

L { f ( t ) } = B { f ( t ) u ( t ) } . {displaystyle {mathcal {L}}left{f(t) ight}={mathcal {B}}left{f(t)u(t) ight}.} И обратно: из двустороннего преобразования можно получить обычное по формуле { B f } ( s ) = { L f ( t ) } ( s ) + { L f ( − t ) } ( − s ) . {displaystyle left{{mathcal {B}}f ight}(s)=left{{mathcal {L}}f(t) ight}(s)+left{{mathcal {L}}f(-t) ight}(-s).}

• Преобразование Меллина может быть выражено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

{ M f } ( s ) = { B f ( e − x ) } ( s ) {displaystyle left{{mathcal {M}}f ight}(s)=left{{mathcal {B}}f(e^{-x}) ight}(s)} И обратно: из двустороннего преобразования можно получить преобразование Меллина по формуле { B f } ( s ) = { M f ( − ln ⁡ x ) } ( s ) . {displaystyle left{{mathcal {B}}f ight}(s)=left{{mathcal {M}}f(-ln x) ight}(s).}

• Преобразование Фурье может быть определено через двустороннее преобразование Лапласа формулой

{ B f } ( s ) = { F f } ( − i s ) . {displaystyle left{{mathcal {B}}f ight}(s)=left{{mathcal {F}}f ight}(-is).}

Свойства