Гиперболичность в смысле Громова
Гиперболичность в смысле Громова или δ {displaystyle delta } -гиперболичность — глобальная характеристика метрического пространства, грубо говоря, напоминающая отрицательность кривизны; в частности пространство Лобачевского гиперболично в смысле Громова.
Гиперболичность в смысле Громова в основном применяется в геометрической теории групп. Она даёт удобную геометрическую интерпретацию для групп малого сокращения.
Определение
Пространство X {displaystyle X} является δ {displaystyle delta } -гиперболичным если для любых точек x , y , z ∈ X {displaystyle x,y,zin X} выполнялось
( x , z ) p ⩾ min { ( x , y ) p , ( y , z ) p } − δ , {displaystyle (x,z)_{p}geqslant min {ig {}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{ig }}-delta ,}где ( x , y ) p {displaystyle (x,y)_{p}} обозначает произведение Громова:
( y , z ) x = 1 2 ( | x − y | X + | x − z | X − | y − z | X ) . {displaystyle (y,z)_{x}={frac {1}{2}}{ig (}|x-y|_{X}+|x-z|_{X}-|y-z|_{X}{ig )}.}Последнее неравенество эквивалентно выполнению
| p − q | X + | x − y | X ⩽ max { | p − x | X + | q − y | X , | p − y | X + | q − x | X } + 2 ⋅ δ {displaystyle |p-q|_{X}+|x-y|_{X}leqslant max{|p-x|_{X}+|q-y|_{X},|p-y|_{X}+|q-x|_{X}}+2cdot delta }для любых точек p , q , x , y ∈ X {displaystyle p,q,x,yin X} .
Есть много других определений (иногда отличающихся изменением δ {displaystyle delta } в несколько раз). Например следующее: если пространство X {displaystyle X} геодезическое, то это условие эквивалентно тому, что для любых точек x, y, z пространства отрезок геодезической [xy] лежит в δ {displaystyle delta } -окрестности объединения [xz] и [yz]. Иными словами — на кратчайшей [xy] найдётся точка t такая, что [xt] лежит в δ {displaystyle delta } -окрестности [xz], а [ty] лежит в δ {displaystyle delta } -окрестности [zy].
Свойства
- Гиперболичность является инвариантом квазиизометричных преобразований. Благодаря этому, гиперболичность группы не зависит от выбора системы образующих, использованной для задания словарной метрики.
- Если пространство содержит изометричную копию R 2 {displaystyle mathbb {R} ^{2}} , оно не может быть гиперболичным. В частности, декартово произведение почти никогда[прояснить] не может быть гиперболическим.
- Инъективная оболочка δ {displaystyle delta } -гиперболического пространства δ {displaystyle delta } -гиперболическая.
- В частности, любое δ {displaystyle delta } -гиперболическое пространство изометрично подмножеству в геодезическом δ {displaystyle delta } -гиперболическом пространстве.
Примеры
- Любое компактное пространство гиперболично.
- Любое дерево является 0-гиперболическим пространством.
- Плоскость Лобачевского гиперболична в смысле Громова. Полагая, что кривизна равна − 1 {displaystyle -1} плоскость Лобачевского является ln ( 2 ) {displaystyle ln(2)} -гиперболической (в смысле четырёхточеного определения).
- Более того, любое C A T ( − 1 ) {displaystyle mathrm {CAT} (-1)} пространство ln ( 2 ) {displaystyle ln(2)} -гиперболично.