Многогранник Джонсона

01.01.2023

Многогранник Джонсона или тело Джонсона — это выпуклый многогранник, каждая грань которого является правильным многоугольником и при этом он не является ни платоновым телом, ни архимедовым, ни призмой, ни антипризмой. Всего существует 92 тела Джонсона.

Примером тела Джонсона служит пирамида с квадратным основанием и сторонами в виде правильных треугольников (J1(М2). Она имеет 1 квадратную грань и 4 треугольных.

Как и во всяком строго выпуклом теле, у этих многогранников к каждой вершине примыкает по меньшей мере три грани и сумма их углов (прилегающих к вершине) меньше 360º. Поскольку правильные многоугольники имеют углы по меньшей мере в 60º, максимум пять граней могут прилегать к вершине. Пятиугольная пирамида (J2) является примером, в котором имеется вершина пятого порядка (то есть с пятью гранями).

Хотя нет явного ограничения на правильные многоугольники, которые могут служить гранями тел Джонсона, на самом деле грани могут иметь только 3, 4, 5, 6, 8 или 10 сторон, причём треугольные грани (не менее четырёх) имеются у любого тела Джонсона.

Из тел Джонсона удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол (J37), который называют также псевдоромбокубооктаэдром, единственный обладает свойством локальной вершинной однородности — в каждой вершине находятся 4 грани и их расположение одинаково — 3 квадрата и 1 треугольник. Однако тело вершинно транзитивным не является, поскольку обладает различной изометрией в различных вершинах, что и делает его телом Джонсона, а не архимедовым телом.

История

В 1966 году Норман Джонсон опубликовал список, в котором присутствовали все 92 тела, и дал им названия и номера. Он высказал гипотезу, что их только 92, то есть других нет.

Ранее, в 1946 году Л. Н. Есаулова прислала А. Д. Александрову письмо, в котором доказала, что правильногранных многогранников (кроме 5 правильных многогранников, 13 полуправильных и двух бесконечных серий (призмы и антипризм) может существовать лишь конечное число. В 1961 году Александров передал это письмо В. А. Залгаллеру, возможно из-за заметки Джонсона 1960 года.

В 1967 году Виктор Залгаллер опубликовал доказательство того, что список Джонсона полон. К решению была привлечена группа школьников школы № 239. Полное доказательство заняло около 4 лет с привлечением компьютерной техники. В доказательстве также существенно использовалась теорема Александрова о выпуклых многогранниках.

Терминология

Названия тел Джонсона имеют большую описательную способность. Большинство этих тел можно построить из нескольких тел (пирамид, куполов и ротонд), добавляя платоновы и архимедовы тела, призмы и антипризмы.

• Би- означает, что две копии тел соединены по основаниям. Для куполов и ротонд они могут быть соединены по граням одного типа (прямые) или по разным (повёрнутые). Октаэдр, например, является квадратной бипирамидой, кубооктаэдр — повёрнутым треугольным бикуполом, а икосододекаэдр — повёрнутой пятиугольной биротондой.
• Удлинённый означает, что к телу присоединена призма или она вставлена между двумя частями тела. Ромбокубооктаэдр, например, является удлинённым квадратным прямым бикуполом.
• Скрученно удлинённый означает, что к телу присоединена антипризма или она вставлена между двумя частями тела. Икосаэдр, например, является скрученно удлинённой пятиугольной бипирамидой.
• Наращённый означает, что пирамида или купол присоединён к грани тела.
• Отсечённый означает, что пирамида или купол отрезан от тела.
• Скрученный означает, что купол, принадлежащий многограннику, повёрнут таким же образом, как в повёрнутых бикуполах.

Последние три операции — наращение, отсечение и поворот — могут быть осуществлены более одного раза на достаточно больших многогранниках. Для операций, осуществлённых два раза, добавляется дважды. (Дважды скрученное тело имеет два повёрнутых купола.) Для операций, осуществлённых три раза, добавляется трижды. (У трижды отсечённого тела удалены три пирамиды или купола.)

Иногда слова дважды недостаточно. Необходимо отличать тела, в которых изменены две противоположные грани от тел, в которых изменены другие грани. Когда изменённые грани параллельны, в название добавляется противоположно. (Дважды противоположно наращённое тело имеет две параллельные грани (противоположные) с добавленными телами.) Если же изменения касаются граней, не являющихся противоположными, в название добавляется косо. (Дважды косо наращённое тело имеет две грани с добавленными телами, но грани не противоположны.)

Несколько названий происходят от многоугольников, из которых собрано тело Джонсона.

Если определить месяц как группу из двух треугольников, присоединённых к квадрату, слово клинокорона соответствует клиновидной короноподобной группе, образованной двумя месяцами. Слово двуклиноид или двуклинник означает две таких группы.

В данной статье используются названия из статьи Залгаллера. Вместе с номерами многогранников, данными Джонсоном, в скобках приводится составной номер из статьи Залгаллера. В этом составном номере

Пn обозначает призму с n-угольным основанием. Аn обозначает антипризму с n-угольным основанием. Мn обозначает тело с индесом n (то есть в этом случае тело строится на основе другого тела). Подчёркивание означает поворот тела

Замечание: Мn не совпадает с Jn. Так, квадратная пирамида J1(М2) имеет индекс 1 у Джонсона и индекс 2 у Залгаллера.

Список

Пирамиды

Первые два тела Джонсона, J1 и J2, являются пирамидами. Треугольная пирамида является правильным тетраэдром, так что не является телом Джонсона.

Куполы и ротонды

Следующие четыре многогранника являются тремя куполами и одной ротондой.

Удлинённые и скрученно удлинённые пирамиды

Следующие пять многогранников Джонсона являются удлинёнными и скручено удлинёнными пирамидами. Они представляют собой склеивание двух многогранников. В случае скрученно удлинённой треугольной пирамиды три пары смежных треугольников копланарны, так что тело не является многогранником Джонсона.

Бипирамиды

Следующими многогранниками Джонсона являются бипирамиды, удлинённые бипирамиды и скрученно удлинённые бипирамиды:

Удлинённые куполы и ротонды

Бикуполы

Повёрнутые треугольные бикуполы являются полуправильными многогранниками (в данном случае — архимедовыми телами), так что они не принадлежат классу многогранников Джонсона.

Куполоротонды и биротонды

Удлинённые бикуполы

Удлинённые куполоротонды и биротонды

Скрученно удлинённые бикуполы, куполоротонды и биротонды

Следующие тела Джонсона имеют две хиральные формы.

Наращённые треугольные призмы

Наращённые пятиугольные и шестиугольные призмы

Наращённые додекаэдры

Отсечённые икосаэдры

Наращённые усечённые тетраэдры и кубы

Наращённые усечённые додекаэдры

Скрученные ромбоикосододекаэдры

Отсечённые ромбоикосододекаэдры

Плосконосые антипризмы

Плосконосые антипризмы можно построить альтерованием усечённых антипризм. Два тела являются многогранниками Джонсона, одно тело правильное, а остальные нельзя построить с помощью правильных треугольников.

Другие

Классификация по типам граней

Треугольные грани

Пять многогранников Джонсона являются дельтаэдрами, то есть все их грани — правильные треугольники:

Треугольные и квадратные грани

Двадцать четыре многогранника Джонсона имеют только треугольные и четырёхугольные грани:

Треугольные и пятиугольные грани

Одиннадцать тел Джонсона имеют только треугольные и пятиугольные грани:

Треугольные, квадратные и шестиугольные грани

Восемь многогранников Джонсона имеют только треугольные, квадратные и шестиугольные грани:

Треугольные, квадратные и восьмиугольные грани

Пять многогранников Джонсона имеют только треугольные, квадратные и восьмиугольные грани:

Вписываемые в сферу многогранники Джонсона

25 многогранников Джонсона имеют вершины, которые лежат на одной сфере: 1—6, 11, 19, 27, 34, 37, 62, 63, 72—83. Все эти многогранники можно получить из правильных или однородных многогранников путём поворота (купола) или отсечения (купола или пирамиды).