Уравнение Колмогорова — Чепмена

Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов P ( t ) , t > 0 {displaystyle mathbf {P} (t),;t>0} в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:

P ( t + s ) = P ( t ) P ( s ) . {displaystyle mathbf {P} (t+s)=mathbf {P} (t)mathbf {P} (s).}

Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где P ( t ) , t ≥ 0 {displaystyle mathbf {P} (t),;tgeq 0} — оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени t {displaystyle t} ( P ( 0 ) = 1 {displaystyle mathbf {P} (0)=mathbf {1} } ).

Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов P ( t , h ) , h > t > 0 {displaystyle mathbf {P} (t,h),;h>t>0} , преобразующих распределение вероятностей в момент времени t > 0 {displaystyle t>0} в распределение вероятности в момент времени h > t > 0. {displaystyle h>t>0.} Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид

P ( t , s ) = P ( t , h ) P ( h , s ) , s > h > t > 0. {displaystyle mathbf {P} (t,s)=mathbf {P} (t,h)mathbf {P} (h,s),;s>h>t>0.}

Для систем с дискретным временем параметры t , h , s {displaystyle t,h,s} принимают натуральные значения.

Прямое и обратное уравнения Колмогорова

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по s {displaystyle s} при s = 0 {displaystyle s=0} получаем прямое уравнение Колмогорова:

d P ( t ) d t = P ( t ) Q , {displaystyle {frac {dmathbf {P} (t)}{dt}}=mathbf {P} (t)mathbf {Q} ,}

где

Q = lim h → 0 P ( h ) − 1 h . {displaystyle mathbf {Q} =lim _{h o 0}{frac {mathbf {P} (h)-mathbf {1} }{h}}.}

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по t {displaystyle t} при t = 0 {displaystyle t=0} получаем обратное уравнение Колмогорова

d P ( t ) d t = Q P ( t ) . {displaystyle {frac {dmathbf {P} (t)}{dt}}=mathbf {Q} mathbf {P} (t).}

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор Q {displaystyle mathbf {Q} } уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

Примеры

Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в R n , {displaystyle mathbb {R} ^{n},} для которых оператор переходных вероятностей P ( t ) {displaystyle mathbf {P} (t)} задаётся переходной плотностью p ( t , x , y ) {displaystyle p(t,x,y)} : вероятность перехода из области U {displaystyle U} в область W {displaystyle W} за время t {displaystyle t} есть ∫ U d x ∫ V d y p ( t , x , y ) {displaystyle int limits _{U}dx,int limits _{V}dy,p(t,x,y)} . Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:

p ( t + s , x , y ) = ∫ R n p ( t , x , z ) p ( s , z , y ) d z . {displaystyle p(t+s,x,y)=int limits _{mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y),dz.}

При t > 0 , t → 0 {displaystyle t>0,,t o 0} переходная плотность p ( t , x , y ) {displaystyle p(t,x,y)} стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций): lim t → 0 p ( t , x , y ) = δ ( x − y ) {displaystyle lim _{t o 0}p(t,x,y)=delta (x-y)} . Это означает, что lim t → 0 P ( t ) = 1 . {displaystyle lim _{t o 0}mathbf {P} (t)=mathbf {1} .} Пусть существует предел (также обобщённая функция)

q ( x , y ) = lim h → 0 p ( h , x , y ) − δ ( x − y ) h . {displaystyle q(x,y)=lim _{h o 0}{frac {p(h,x,y)-delta (x-y)}{h}}.}

Тогда оператор Q {displaystyle mathbf {Q} } действует на функции f ( x ) {displaystyle f(x)} , определённые на R n , {displaystyle mathbb {R} ^{n},} как ( Q f ) ( x ) = ∫ R n q ( x , y ) f ( y ) d y , {displaystyle (mathbf {Q} f)(x)=int limits _{mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y),dy,} и прямое уравнение Колмогорова принимает вид

∂ p ( t , x , y ) ∂ t = ∫ R n p ( t , x , z ) q ( z , y ) d z , {displaystyle {frac {partial p(t,x,y)}{partial t}}=int limits _{mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)q(z,y),dz,}

а обратное уравнение Колмогорова

∂ p ( t , x , y ) ∂ t = ∫ R n q ( x , z ) p ( t , z , y ) d z . {displaystyle {frac {partial p(t,x,y)}{partial t}}=int limits _{mathbb {R} ^{n}}q(x,z)p(t,z,y),dz.}

Пусть оператор Q {displaystyle mathbf {Q} } — дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:

( Q f ) = 1 2 ∑ i , j a i j ( x ) ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j + ∑ j b j ( x ) ∂ f ∂ x j . {displaystyle (mathbf {Q} f)={frac {1}{2}}sum _{i,j}a^{ij}(x){frac {partial ^{2}f}{partial x^{i}partial x^{j}}}+sum _{j}b^{j}(x){frac {partial f}{partial x^{j}}}.}

(это означает, что q ( x , y ) {displaystyle q(x,y)} есть линейная комбинация первых и вторых производных δ ( x − y ) {displaystyle delta (x-y)} с непрерывными коэффициентами). Матрица a i j {displaystyle a^{ij}} симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид

∂ p ( t , x , y ) ∂ t = 1 2 ∑ i , j ∂ 2 ∂ y i ∂ y j ( a i j ( y ) p ( t , x , y ) ) − ∑ j ∂ ∂ y j ( b j ( y ) p ( t , x , y ) ) . {displaystyle {frac {partial p(t,x,y)}{partial t}}={frac {1}{2}}sum _{i,j}{frac {partial ^{2}}{partial y^{i}partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-sum _{j}{frac {partial }{partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).}

Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор b j {displaystyle b^{j}} в физической литературе называется вектором сноса, а матрица a i j {displaystyle a^{ij}} — тензором диффузии Обратное уравнение Колмогорова в этом случае

∂ p ( t , x , y ) ∂ t = 1 2 ∑ i , j a i j ( x ) ∂ 2 ∂ x i ∂ x j p ( t , x , y ) + ∑ j b j ( x ) ∂ ∂ x j p ( t , x , y ) . {displaystyle {frac {partial p(t,x,y)}{partial t}}={frac {1}{2}}sum _{i,j}a^{ij}(x){frac {partial ^{2}}{partial x^{i}partial x^{j}}}p(t,x,y)+sum _{j}b^{j}(x){frac {partial }{partial x^{j}}}p(t,x,y).}