Теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности

08.08.2022

В теории динамических систем, теорема Пуанкаре о классификации гомеоморфизмов окружности описывает возможные типы обратимой динамики на окружности, в зависимости от числа вращения ρ ( f ) {displaystyle ho (f)} итерируемого отображения f. Грубо говоря, оказывается, что динамика итераций отображения в определённой степени похожа на динамику поворота на соответствующий угол.

А именно, пусть задан гомеоморфизм окружности f. Тогда:

1) Число вращения рационально тогда и только тогда, когда у f есть периодические точки. При этом знаменатель числа вращения — это период любой периодической точки, а циклический порядок на окружности точек любой периодической орбиты такой же, как и у точек орбиты поворота на ρ ( f ) {displaystyle ho (f)} . Далее, любая траектория стремится к некоторой периодической как в прямом, так и в обратном времени ( α {displaystyle alpha } - и ω {displaystyle omega } -предельные траектории при этом могут быть разными).

2) Если число вращения f иррационально, то возможны два варианта:

i) либо у f есть плотная орбита, и тогда гомеоморфизм f сопряжён повороту на ρ ( f ) {displaystyle ho (f)} . В этом случае все орбиты f плотны (поскольку это верно для иррационального поворота); ii) либо у f есть канторово инвариантное множество C, являющееся единственным минимальным множеством системы. В этом случае все траектории стремятся к C как в прямом, так и в обратном времени. Кроме того, отображение f полусопряжено повороту на ρ ( f ) {displaystyle ho (f)} : для некоторого отображения h степени 1, h ∘ f = R ρ ( f ) ∘ h . {displaystyle hcirc f=R_{ ho (f)}circ h.}

При этом множество C в точности является множеством точек роста h — иными словами, с топологической точки зрения, h схлопывает интервалы дополнения до C.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: