Предаддитивная категория

24.04.2022

Предаддитивная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов A {displaystyle A} , B {displaystyle B} множество Hom ( A , B ) {displaystyle { ext{Hom}}(A,B)} имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

( g 1 + g 2 ) ∘ f = g 1 ∘ f + g 2 ∘ f {displaystyle (g_{1}+g_{2})circ f=g_{1}circ f+g_{2}circ f} g ∘ ( f 1 + f 2 ) = g ∘ f 1 + g ∘ f 2 {displaystyle gcirc (f_{1}+f_{2})=gcirc f_{1}+gcirc f_{2}}

Предаддитивную категорию иногда называют также A b {displaystyle Ab} -категорией.

Примеры

  • Категория абелевых групп A b {displaystyle mathbf {Ab} } .
  • Категории левых R-модулей R - M o d {displaystyle R{mbox{-}}mathbf {Mod} } и правых R-модулей M o d - R {displaystyle mathbf {Mod} {mbox{-}}R} .

Аддитивные функторы

Функтор T : A → B {displaystyle Tcolon A o B} называется аддитивным, если каждое отображение T : Hom A ( a 1 , a 2 ) → Hom B ( T a 1 , T a 2 ) {displaystyle Tcolon { ext{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2}) o { ext{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})} является гомоморфизмом абелевых групп.

Если C {displaystyle {mathcal {C}}} и D {displaystyle {mathcal {D}}} — категории, причём D {displaystyle {mathcal {D}}} предаддитивна, то категория функторов F u n c t ( C , D ) {displaystyle Funct({mathcal {C}},{mathcal {D}})} также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если C {displaystyle {mathcal {C}}} тоже предаддитивна, то категория A d d ( C , D ) {displaystyle Add({mathcal {C}},{mathcal {D}})} аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если C {displaystyle {mathcal {C}}} предаддитивна, то категория M o d ( C ) := A d d ( C , A b ) {displaystyle Mod({mathcal {C}}):=Add({mathcal {C}},mathbf {Ab} )} называется категорией модулей над C {displaystyle {mathcal {C}}} . Если C {displaystyle {mathcal {C}}} — предаддитивная категория из одного объекта — кольца R {displaystyle R} , это приводит к обычному определению (левых) R {displaystyle R} -модулей.

A b - C a t {displaystyle Ab{mbox{-}}mathbf {Cat} } — категория всех малых A b {displaystyle Ab} -категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаи

  • Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
  • Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
  • Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: