Теорема Гильберта о нулях

Теорема Гильберта о нулях (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.

Формулировка

Пусть k {displaystyle k} — произвольное поле (например, поле рациональных чисел), K {displaystyle K} — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим K [ x 1 , … , x n ] {displaystyle K[x_{1},ldots ,x_{n}]} — кольцо многочленов от n {displaystyle n} переменных с коэффициентами в поле K {displaystyle K} , пусть I {displaystyle I} — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество V ( I ) {displaystyle {hbox{V}}(I)} , определяемое этим идеалом, состоит из всех точек x = ( x 1 , … , x n ) ∈ K n {displaystyle x=(x_{1},dots ,x_{n})in K^{n}} таких, что f ( x ) = 0 {displaystyle f(x)=0} для любого f ∈ I {displaystyle fin I} . Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен p ∈ k [ x 1 , … , x n ] {displaystyle pin k[x_{1},dots ,x_{n}]} зануляется на множестве V ( I ) {displaystyle {hbox{V}}(I)} , то есть если p ( x ) = 0 {displaystyle p(x)=0} для всех x ∈ V ( I ) {displaystyle xin V(I)} , то существует натуральное число r {displaystyle r} такое, что p r ∈ I {displaystyle p^{r}in I} .

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если I {displaystyle I} является собственным идеалом в кольце K [ x 1 , … , x n ] {displaystyle K[x_{1},dots ,x_{n}]} , то V ( I ) {displaystyle {hbox{V}}(I)} не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен p ( x ) = 1 {displaystyle p(x)=1} имеет корни всюду на V ( I ) {displaystyle {hbox{V}}(I)} , следовательно, его степень принадлежит I {displaystyle I} ). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле K {displaystyle K} является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала ( x 2 + 1 ) {displaystyle (x^{2}+1)} в R [ x ] {displaystyle mathbb {R} [x]} не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала J {displaystyle J} справедлива формула

I ( V ( J ) ) = J {displaystyle {hbox{I}}({hbox{V}}(J))={sqrt {J}}}

где J {displaystyle {sqrt {J}}} — радикал идеала J {displaystyle J} , а I ( U ) {displaystyle {hbox{I}}(U)} — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве U {displaystyle U} .

Из этого следует, что операции I {displaystyle {hbox{I}}} и V {displaystyle {hbox{V}}} задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в K n {displaystyle K^{n}} и радикальными идеалами в K [ x 1 , … , x n ] {displaystyle K[x_{1},ldots ,x_{n}]} .

Проективная версия Nullstellensatz

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть R = K [ x 1 , … , x n ] {displaystyle R=K[x_{1},dots ,x_{n}]} , R d {displaystyle R_{d}} — множество однородных многочленов степени d {displaystyle d} . Тогда

R + = ⨁ d ≥ 1 R d {displaystyle R_{+}=igoplus _{dgeq 1}R_{d}}

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества S ⊆ P n {displaystyle Ssubseteq mathbb {P} ^{n}} и однородного идеала I {displaystyle I} пусть

I P n ⁡ ( S ) = { f ∈ R + | f ( x ) = 0 ∀ x ∈ S } , V P n ⁡ ( I ) = { x ∈ P n | f ( x ) = 0 ∀ f ∈ I } . {displaystyle {egin{aligned}operatorname {I} _{mathbb {P} ^{n}}(S)&={fin R_{+}|f(x)=0;forall xin S},operatorname {V} _{mathbb {P} ^{n}}(I)&={xin mathbb {P} ^{n}|f(x)=0;forall fin I}.end{aligned}}}

Напомним, что f {displaystyle f} не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами x {displaystyle x} , в которых f ( x ) = 0 {displaystyle f(x)=0} , определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала I ∈ R + {displaystyle Iin R_{+}} верно

I = I P n ⁡ ( V P n ⁡ ( I ) ) . {displaystyle {sqrt {I}}=operatorname {I} _{mathbb {P} ^{n}}(operatorname {V} _{mathbb {P} ^{n}}(I)).}