Вариация Харди

Вариация Харди — одна из числовых характеристик функции нескольких переменных.

Определение

Пусть имеется функция f ( x ) = f ( x 1 , … , x n ) , n = 2 , 3 , … {displaystyle f(x)=f(x_{1},;ldots ,;x_{n}),;n=2,;3,;ldots } , заданная на n {displaystyle n} -мерном параллелепипеде

D n = [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × … × [ a n , b n ] . {displaystyle D_{n}=[a_{1},;b_{1}] imes [a_{2},;b_{2}] imes ldots imes [a_{n},;b_{n}].}

Зададимся произвольным разбиением π {displaystyle pi } параллелепипеда гиперплоскостями

x s = x s ( r s ) , r s = 0 , 1 , 2 , … , l s ; s = 1 , 2 , … , n , {displaystyle x_{s}=x_{s}^{(r_{s})},quad r_{s}=0,;1,;2,;ldots ,;l_{s};;s=1,;2,;ldots ,;n,} x s ( r s ) < x s ( r s + 1 ) , x s ( 0 ) = a s , x s ( l s ) = b s , h s ( r s ) = x s ( r s + 1 ) − x s ( r s ) {displaystyle x_{s}^{(r_{s})}<x_{s}^{(r_{s}+1)},;x_{s}^{(0)}=a_{s},;x_{s}^{(l_{s})}=b_{s},;h_{s}^{(r_{s})}=x_{s}^{(r_{s}+1)}-x_{s}^{(r_{s})}}

на n {displaystyle n} -мерные параллелепипеды.

Рассмотрим класс H ~ n {displaystyle { ilde {H}}_{n}} всех функций, для которых

H ~ n = sup π ∑ r 1 = 0 l 1 − 1 ∑ r 2 = 0 l 2 − 1 … ∑ r n = 0 l n − 1 | Δ h 1 ( r 1 ) h 2 ( r 2 ) … h n ( r n ) ( f ; x 1 ( r 1 ) , x 2 ( r 2 ) , … , x n ( r n ) ) | < ∞ , {displaystyle { ilde {H}}_{n}=sup _{pi }sum _{r_{1}=0}^{l_{1}-1}sum _{r_{2}=0}^{l_{2}-1}ldots sum _{r_{n}=0}^{l_{n}-1}left|Delta _{h_{1}^{(r_{1})}h_{2}^{(r_{2})}ldots h_{n}^{(r_{n})}}(f;;x_{1}^{(r_{1})},;x_{2}^{(r_{2})},;ldots ,;x_{n}^{(r_{n})}) ight|<infty ,}

где

Δ h 1 h 2 … h n ( f ; x ) = Δ h k ( Δ h 1 h 2 … h k − 1 ; x ) , k = 2 , 3 , … , n ; {displaystyle Delta _{h_{1}h_{2}ldots h_{n}}(f;;x)=Delta _{h_{k}}(Delta _{h_{1}h_{2}ldots h_{k-1}};;x),quad k=2,;3,;ldots ,;n;} Δ h k ( f ; x ) = f ( x 1 , x 2 , … , x k + h k , … , x n ) − {displaystyle Delta _{h_{k}}(f;;x)=f(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{k}+h_{k},;ldots ,;x_{n})-} − f ( x 1 , x 2 , … , x k , … , x n ) , k = 1 , 2 , … , n . {displaystyle -f(x_{1},;x_{2},;ldots ,;x_{k},;ldots ,;x_{n}),quad ;k=1,;2,;ldots ,;n.}

Пусть, теперь, α = ( α 1 , α 2 , … , α s ) , s = 1 , 2 , … , n − 1 {displaystyle alpha =(alpha _{1},;alpha _{2},;ldots ,;alpha _{s}),;s=1,;2,;ldots ,;n-1} — целочисленный вектор, координаты которого удовлетворяют неравенствам 1 ⩽ α 1 < α 2 < … < α s ⩽ n {displaystyle 1leqslant alpha _{1}<alpha _{2}<ldots <alpha _{s}leqslant n} , и α ¯ {displaystyle {ar {alpha }}} — целочисленный вектор размерности n − s {displaystyle n-s} такой, что его координаты образуют строго возрастающую последовательность и состоят из всех тех чисел 1 , 2 , … , n {displaystyle 1,;2,ldots ,;n} , которые не содержатся среди чисел α 1 , α 2 , … , α s {displaystyle alpha _{1},;alpha _{2},;ldots ,;alpha _{s}} . Тогда каждую точку x ∈ D n {displaystyle xin D_{n}} можно записать в виде x = ( x α , x α ¯ ) {displaystyle x=(x^{alpha },;x^{ar {alpha }})} . Если координаты x α 1 , x α 2 , … , x α s {displaystyle x_{alpha _{1}},;x_{alpha _{2}},;ldots ,;x_{alpha _{s}}} точки x ∈ D n {displaystyle xin D_{n}} фиксированы на значениях x ∘ α 1 , x ∘ α 2 , … , x ∘ α s {displaystyle {overset {circ }{x}}_{alpha _{1}},;{overset {circ }{x}}_{alpha _{2}},;ldots ,;{overset {circ }{x}}_{alpha _{s}}} , то будем писать x = ( x ∘ α , x α ¯ ) {displaystyle x=({overset {circ }{x}}{}^{alpha },;x^{ar {alpha }})} .

Вариация Xарди функции f ( x ) {displaystyle f(x)} на D n {displaystyle D_{n}} :

H ( f , D n ) = d e f sup α sup x ∘ α H ~ n − s ( f ( x ∘ α , x α ¯ ) ) . {displaystyle H(f,;D_{n}),{overset {mathrm {def} }{=}}sup _{alpha },sup _{{overset {circ }{x}}{}^{alpha }}{ ilde {H}}_{n-s}left(f({overset {circ }{x}}{}^{alpha },;x^{ar {alpha }}) ight).}

Если H ( f , D n ) < ∞ {displaystyle H(f,;D_{n})<infty } , то говорят, что функция f ( x ) {displaystyle f(x)} имеет ограниченную (конечную) вариацию Харди на параллелепипеде D n {displaystyle D_{n}} , а класс всех таких функций обозначается H ( D n ) {displaystyle H(D_{n})} .

История

Первоначально класс H ( D n ) {displaystyle H(D_{n})} при n = 2 {displaystyle n=2} был введён Г. Харди (G. Н. Hardy) в связи с исследованием сходимости двойных рядов Фурье. Он доказал, что прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье функции f ( x 1 , x 2 ) {displaystyle f(x_{1},;x_{2})} класса H ( Q 2 ) {displaystyle H(Q_{2})} ( Q 2 = [ 0 , 2 π ] × [ 0 , 2 π ] {displaystyle Q_{2}=[0,;2pi ] imes [0,;2pi ]} ), имеющей период 2 π {displaystyle 2pi } по каждой переменной, сходятся в каждой точке ( x 1 , x 2 ) {displaystyle (x_{1},;x_{2})} к числу

1 4 { f ( x 1 + 0 , x 2 + 0 ) + f ( x 1 + 0 , x 2 − 0 ) + f ( x 1 + 0 , x 2 − 0 ) + f ( x 1 − 0 , x 2 − 0 ) } , {displaystyle {frac {1}{4}}{f(x_{1}+0,;x_{2}+0)+f(x_{1}+0,;x_{2}-0)+f(x_{1}+0,;x_{2}-0)+f(x_{1}-0,;x_{2}-0)},}

где

f ( x ± 0 , x 2 ± 0 ) = d e f lim ε 1 → + 0 ε 2 → + 0 f ( x 1 ± ε 1 , x 2 ± ε 1 ) . {displaystyle f(xpm 0,;x_{2}pm 0),{overset {mathrm {def} }{=}}lim _{egin{smallmatrix}varepsilon _{1} o +0varepsilon _{2} o +0end{smallmatrix}}f(x_{1}pm varepsilon _{1},;x_{2}pm varepsilon _{1}).}

Для того чтобы функция f ( x ) {displaystyle f(x)} входила в класс H ( D n ) {displaystyle H(D_{n})} , необходимо и достаточно, чтобы её можно было представить в виде f ( x ) = f 1 ( x ) − f 2 ( x ) {displaystyle f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)} , где f 1 {displaystyle f_{1}} и f 2 {displaystyle f_{2}} такие конечные на D n {displaystyle D_{n}} функции, что Δ h 1 h 2 … h n ( f ; x ) ⩾ 0 , k = 2 , 3 , … , n {displaystyle Delta _{h_{1}h_{2}ldots h_{n}}(f;;x)geqslant 0,;k=2,;3,;ldots ,;n} , при всех x ∈ D n {displaystyle xin D_{n}} и допустимых приращениях h 1 , h 2 , … , h n {displaystyle h_{1},;h_{2},;ldots ,;h_{n}} . Класс H ( D n ) {displaystyle H(D_{n})} содержится в классе A ( D n ) {displaystyle A(D_{n})} функций, имеющих ограниченную вариацию Арцела на D n {displaystyle D_{n}} .