Репер (аффинная геометрия)

23.01.2022

Репер (от фр. repère — знак, исходная точка) или точечный базис (иногда слово «точечный» опускается) аффинного пространства — обобщение понятия базиса для аффинных пространств.

Репер аффинного пространства A {displaystyle A} , ассоциированного с векторным пространством V {displaystyle V} размерности n {displaystyle n} , представляет собой совокупность точки O ∈ A {displaystyle Oin A} (начала координат) и упорядоченного набора из n {displaystyle n} линейно независимых векторов e 1 , … , e n ∈ V {displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}in V} (то есть базиса в n {displaystyle n} -мерном векторном пространстве V {displaystyle V} ). Это эквивалентно заданию упорядоченного набора из n + 1 {displaystyle n+1} аффинно независимых точек O , P 1 , … , P n ∈ A {displaystyle O,P_{1},ldots ,P_{n}in A} . В этом случае, очевидно, векторы e 1 = O P 1 → , … , e n = O P n → {displaystyle e_{1}={vec {OP_{1}}},ldots ,e_{n}={vec {OP_{n}}}} .

Координатами точки X ∈ A {displaystyle Xin A} относительного репера ( O ; e 1 , … , e n ) {displaystyle (O;e_{1},ldots ,e_{n})} называются координаты вектора O X → {displaystyle {vec {OX}}} относительно базиса e 1 , … , e n {displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}} . Точно так же, как при выборе базиса в векторном пространстве любой вектор этого пространства задается своими координатами, любая точка аффинного пространства задается своими координатами относительного выбранного репера. Если относительно репера ( O ; e 1 , … , e n ) {displaystyle (O;e_{1},ldots ,e_{n})} точка X ∈ A {displaystyle Xin A} обладает координатами ( x 1 , … , x n ) {displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})} , а точка Y ∈ A {displaystyle Yin A} — координатами ( y 1 , … , y n ) {displaystyle (y_{1},ldots ,y_{n})} , то вектор X Y → {displaystyle {vec {XY}}} имеет относительно базиса e 1 , … , e n {displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}} координаты ( y 1 − x 1 , … , y n − x n ) . {displaystyle (y_{1}-x_{1},ldots ,y_{n}-x_{n}).}

Репер ( O ; e 1 , … , e n ) {displaystyle (O;e_{1},ldots ,e_{n})} называется ортогональным (ортонормированным), если соответствующий ему базис e 1 , … , e n {displaystyle e_{1},ldots ,e_{n}} является ортогональным (ортонормированным).


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: