Универсальное накрытие

Универсальное накрытие — в некотором смысле самое большое накрытие пространства. В непатологических случаях, универсальное накрытие есть накрытие односвязным пространством.

Определение

Накрытие p : Y ~ → Y {displaystyle pcolon { ilde {Y}} o Y} называется универсальным если для любого другого накрытия q : X → Y {displaystyle qcolon X o Y} существует накрытие s : Y ~ → X {displaystyle scolon { ilde {Y}} o X} такое, что p = q ∘ s {displaystyle p=qcirc s} .

Примеры

• Примером пространства, не допускающего универсальное накрытие, является так называемая гавайская серьга: объединение последовательности окружностей, попарно касающихся в одной точке, радиусы которых стремятся к нулю.

• Две копии конуса над гавайской серьгой, склеенные по одной точке, в которой окружности гавайской серьги имеют общую точку, дают пример неодносвязного пространства с тривиальным (и значит неодносвязным) универсальным накрытием. Замкнутый путь, обегающий уменьшающиеся окружности и бегающий из конуса в конус, негомотопен нулю.

• Вещественная прямая R {displaystyle mathbb {R} } является универсальным накрытием окружности S 1 {displaystyle S^{1}} .

• n {displaystyle n} -мерная сфера S n {displaystyle S^{n}} является универсальным накрытием вещественного проективного пространства R P n {displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^{n}} при n > 1 {displaystyle n>1} .

Свойства

• Универсальное накрытие регулярно.

• Все локально линейно связные и полулокально односвязные связные пространства допускают универсальное накрытие. Более того, пространство накрытия является односвязным.
  • В частности, у любого локально односвязного связного пространства существует универсальное накрытие.