Итерационная формула Герона

31.12.2021

Итерационная формула Герона имеет вид

x n + 1 = 1 2   ( x n + a x n )   {displaystyle x_{n+1}={frac {1}{2}}~left(x_{n}+{frac {a}{x_{n}}} ight) } ,

где a — фиксированное положительное число, а x 1 {displaystyle x_{1}} — любое положительное число.

Итерационная формула задаёт убывающую (начиная со 2-го элемента) последовательность, которая при любом выборе x 1 {displaystyle x_{1}} быстро сходится к величине a {displaystyle {sqrt {a}}} (квадратный корень из числа), то есть

lim n → ∞ x n = a {displaystyle lim _{n ightarrow infty }x_{n}={sqrt {a}}}

Эту формулу можно получить, применяя метод Ньютона к решению уравнения a − x 2 = 0 {displaystyle a-x^{2}=0} .

Пример

Попробуем вычислить квадратный корень для 25, используя округления при вычислениях. Пусть нашим первым предположением для значения 25 {displaystyle {sqrt {25}}} будет значение 3.

Геометрическая интерпретация

Эта формула имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим прямоугольник с площадью а и стороной x1. Будем производить его итерационное квадрирование. А именно — одну сторону нового прямоугольника сделаем равной среднему арифметическому обеих сторон предыдущего шага. А вторую сторону возьмём такой, чтобы площадь нового прямоугольника снова была равна а. На следующих шагах будем повторять этот же процесс.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: