Закон Гука

16.12.2021

Закон Гука — утверждение, согласно которому, деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Закон Гука для тонкого стержня

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

F = k Δ l . {displaystyle F=kDelta l.}

Здесь F {displaystyle F} — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, Δ l {displaystyle Delta l} — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а k {displaystyle k} — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S {displaystyle S} и длины L {displaystyle L} ) явно, записав коэффициент упругости как

k = E S L . {displaystyle k={frac {ES}{L}}.}

Величина E {displaystyle E} называется модулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

ε = Δ l L {displaystyle varepsilon ={frac {Delta l}{L}}}

и нормальное напряжение в поперечном сечении

σ = F S , {displaystyle sigma ={frac {F}{S}},}

то закон Гука для относительных величин запишется как

σ = E ε   . {displaystyle sigma =Evarepsilon .}

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Δ l = F L E S . {displaystyle Delta l={frac {FL}{ES}}.}

Закон Гука и измерение силы

Закон Гука лежит в основе измерения сил пружинным механическим динамометром. В этом приборе измеряемая сила передаётся пружине, которая в зависимости от направления силы сжимается или растягивается. Величина упругой деформации пружины пропорциональна силе воздействия и регистрируется.

Принципиальная возможность измерения обеспечивается уже свойством упругости, но без закона Гука упомянутая пропорциональность отсутствовала бы и градуировочная шкала стала бы неравномерной, что неудобно.

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга C i j k l {displaystyle C_{ijkl}} и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора C i j k l {displaystyle C_{ijkl}} , а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

σ i j = ∑ k l C i j k l ⋅ ε k l , {displaystyle sigma _{ij}=sum _{kl}C_{ijkl}cdot varepsilon _{kl},}

где σ i j {displaystyle sigma _{ij}} — тензор напряжений, ε k l , {displaystyle varepsilon _{kl},} — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор C i j k l {displaystyle C_{ijkl}} содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

ε x = σ x E − μ E σ y − μ E σ z {displaystyle varepsilon _{x}={frac {sigma _{x}}{E}}-{frac {mu }{E}}sigma _{y}-{frac {mu }{E}}sigma _{z}} ε y = σ y E − μ E σ x − μ E σ z {displaystyle varepsilon _{y}={frac {sigma _{y}}{E}}-{frac {mu }{E}}sigma _{x}-{frac {mu }{E}}sigma _{z}} ε z = σ z E − μ E σ x − μ E σ y {displaystyle varepsilon _{z}={frac {sigma _{z}}{E}}-{frac {mu }{E}}sigma _{x}-{frac {mu }{E}}sigma _{y}} γ x y = τ x y G {displaystyle gamma _{xy}={frac { au _{xy}}{G}}} γ y z = τ y z G {displaystyle gamma _{yz}={frac { au _{yz}}{G}}} γ x z = τ x z G {displaystyle gamma _{xz}={frac { au _{xz}}{G}}}

где:

  • E {displaystyle E} — модуль Юнга;
  • μ {displaystyle mu } — коэффициент Пуассона;
  • G = E 2 ( 1 + μ ) {displaystyle G={frac {E}{2(1+mu )}}} — модуль сдвига.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: