Линейная поляризация

Линейная поляризация или плоскостная поляризация электромагнитного излучения — разновидность поляризации волн, при которой вектор электрического или магнитного поля ограничен строго одним направлением и строго одной плоскостью. В случае линейной поляризации её эллипс вырождается в отрезок прямой линии, определяющий положение плоскости поляризации. Вектором электрического поля определяется ориентация линейно поляризованной электромагнитной волны (т.е. если вектор электрического поля будет вертикальным, то и излучение будет вертикально поляризованным).

Математическое описание линейной поляризации

Решение уравнения электромагнитной волны для классической синусоидальной плоской волны в электрических и магнитных полях выглядит следующим образом:

E ( r , t ) =∣ E ∣ R e { | ψ ⟩ exp ⁡ [ i ( k z − ω t ) ] } {displaystyle mathbf {E} (mathbf {r} ,t)=mid mathbf {E} mid mathrm {Re} left{|psi angle exp left[ileft(kz-omega t ight) ight] ight}} B ( r , t ) = z ^ × E ( r , t ) / c {displaystyle mathbf {B} (mathbf {r} ,t)={hat {mathbf {z} }} imes mathbf {E} (mathbf {r} ,t)/c}

Здесь k — волновое число,

ω = c k {displaystyle omega _{}^{}=ck}

является угловой частотой волны, а c {displaystyle c} — скорость света.

В данном случае ∣ E ∣ {displaystyle mid mathbf {E} mid } — амплитуда поля, тогда

| ψ ⟩   = d e f   ( ψ x ψ y ) = ( cos ⁡ θ exp ⁡ ( i α x ) sin ⁡ θ exp ⁡ ( i α y ) ) {displaystyle |psi angle {stackrel {mathrm {def} }{=}} {egin{pmatrix}psi _{x}psi _{y}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}cos heta exp left(ialpha _{x} ight)sin heta exp left(ialpha _{y} ight)end{pmatrix}}}

является вектором Джонса в плоскости x-y.

Волна является линейно поляризованной, если равными являются углы фаз α x , α y {displaystyle alpha _{x}^{},alpha _{y}} , то есть

α x = α y   = d e f   α {displaystyle alpha _{x}=alpha _{y} {stackrel {mathrm {def} }{=}} alpha } .

В таком случае волна линейно поляризована под углом θ {displaystyle heta } по отношению к горизонтальной оси (оси x), и вектор Джонса может быть выражен следующим образом:

| ψ ⟩ = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) exp ⁡ ( i α ) {displaystyle |psi angle ={egin{pmatrix}cos heta sin heta end{pmatrix}}exp left(ialpha ight)} .

Векторы состояния для линейной поляризации в x или y — частные случаи данного вектора состояния.

Если единичные векторы таковы, что

| x ⟩   = d e f   ( 1 0 ) {displaystyle |x angle {stackrel {mathrm {def} }{=}} {egin{pmatrix}1end{pmatrix}}} | y ⟩   = d e f   ( 0 1 ) {displaystyle |y angle {stackrel {mathrm {def} }{=}} {egin{pmatrix}01end{pmatrix}}} ,

тогда поляризация в плоскости x-y может быть выражена следующим образом

| ψ ⟩ = cos ⁡ θ exp ⁡ ( i α ) | x ⟩ + sin ⁡ θ exp ⁡ ( i α ) | y ⟩ = ψ x | x ⟩ + ψ y | y ⟩ {displaystyle |psi angle =cos heta exp left(ialpha ight)|x angle +sin heta exp left(ialpha ight)|y angle =psi _{x}|x angle +psi _{y}|y angle } .

В целом, если волны E 1 {displaystyle E_{1}} и E 2 {displaystyle E_{2}} имеют или одинаковые фазы, или фазы разностью 180°, то сумма их векторов представляет собой линейно поляризованную волну с вектором поляризации, направленным под углом θ = arth ⁡ E 2 E 1 {displaystyle heta =operatorname {arth} {E_{2} over E_{1}}} к оси вектора e 1 {displaystyle e_{1}} и с амплитудой E = E 1 2 + E 2 2 {displaystyle E={sqrt {E_{1}^{2}+E_{2}^{2}}}} . Если же их фазы разные, то волна будет поляризована эллиптически.

Векторы и матрицы Джонса

В зависимости от направления поляризации света векторы Джонса могут принимать разный вид. В частности, выделяются следующие векторы Джонса для линейной поляризации:

• J → = ( 1 0 ) {displaystyle {vec {J}}={egin{pmatrix}1end{pmatrix}}} при горизонтальной поляризации;
• J → = ( 0 1 ) {displaystyle {vec {J}}={egin{pmatrix}01end{pmatrix}}} при вертикальной поляризации;
• J → = 1 2 ( 1 0 ) {displaystyle {vec {J}}={1 over {sqrt {2}}}{egin{pmatrix}1end{pmatrix}}} при поляризации под углом +45°;
• J → = 1 2 ( 0 1 ) {displaystyle {vec {J}}={1 over {sqrt {2}}}{egin{pmatrix}01end{pmatrix}}} при поляризации под углом -45°.

Разным оптическим элементам соответствуют следующие матрицы Джонса:

• ( 1 0 0 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}1&0&0end{pmatrix}}} для горизонтального линейного поляризатора;
• ( 0 0 0 1 ) {displaystyle {egin{pmatrix}0&0&1end{pmatrix}}} для вертикального линейного поляризатора;
• 1 2 ( 1 1 1 1 ) {displaystyle {1 over 2}{egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}}} для линейного поляризатора под углом +45°;
• 1 2 ( 1 − 1 − 1 1 ) {displaystyle {1 over 2}{egin{pmatrix}1&-1-1&1end{pmatrix}}} для линейного поляризатора под углом -45°.