Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

14.07.2015

Выбор оптимальных параметров и режимов работы решет в значительной мере зависит от протекания заключительного этапа сепарирования — процесса прохождения зерна через отверстие. Для тихоходных качающихся решет этот процесс связывали с задачей определения предельной (критической) относительной скорости движения семян по решету, т. е. такой максимальной скорости, при которой частица еще может пройти через отверстие, так как экспериментально было обнаружено снижение пропускной способности решета с увеличением этой скорости. При этом для определения критической скорости безотрывного движения частицы принимали следующую схему: шар, движущийся параллельно плоскости решета, пройдет через отверстие, если к моменту касания о противоположную кромку его центр масс опустится на величину, равную половине диаметра. Такая расчетная схема впервые была предложена В.П. Горячкиным, а затем с некоторыми изменениями ее применяли В.М. Цециновский, В.В. Гортинский, И.И. Василенко, П.М. Василенко, Г.Д. Tepсков, С.М. Григорьев, А.Н. Таран. М.Н. Богомолов и В.В. Гортинский рассмотрели возможность прохождения зерна через отверстие решета после удара о кромки и указали на существенное влияние положения вектора скорости шара после удара на дальнейшее его движение.
Вибрационные решета отличаются от качающихся высочастотными режимами при сравнительно малых амплитудах колебаний, поэтому решающим фактором, влияющим на процесс прохождения зерна через отверстие, является не только относительная скорость зерна, но и его взаимодействие с кромками отверстия.
В результате экспериментальных исследований было обнаружено, что не все зерна проходовой фракции, подошедшие к отверстиям решета, проходят через них. При этом высокая частота колебательного движения кромок отверстий как бы уменьшает их размер (амплитуда колебаний вибрационных зерновых решет, как правило, меньше размеров их отверстий). В этой связи была поставлена задача: на основе изучения взаимодействия зерна с кромками отверстий решет определить основные факторы, влияющие на процесс прохождения зерна через отверстие, и получить аналитические выражения, необходимые как для объяснения элементов изучаемого процесса, так и для его управления, с целью выбора оптимальных параметров и режима работы вибрационных решет.
Для наиболее часто встречающихся законов движения решет эту задачу решали как с использованием теории вероятностей, так и детерминированным путем. С целью облегчения решения задачи частицу принимали шарообразной формы. В дальнейшем влияние формы зерна на вероятность прохождения его через отверстие учитывали с помощью некоторых показателей.
Сначала рассмотрим задачу о прохождении зерна сквозь отверстие решета в вероятностной постановке. Некоторые результаты этих исследований изложены в совместных статьях автора и А.В. Миняйло.
Качество работы решета можно оценить с помощью вероятности, с которой зерно определенного размера и формы может пройти через его отверстие. Ha основе учения о геометрических вероятностях М.Н. Летошнев впервые исследовал зависимость вероятности попадания зерен в отверстия от их размеров при горизонтальных и вертикальных колебаниях решета.
В теории процессов обогащения полезных ископаемых вероятность попадания шаровидной частицы, движущейся вертикально, в неподвижное отверстие, расположенное в горизонтальной плоскости, определяется отношением площади зоны отверстия, попадание в которую центра масс зерна гарантирует проход его через отверстие, ко всей площади отверстия.
Следуя М.Н. Летошневу, В.В. Гортинский решил задачу о вероятности просевания частицы круглой формы при однократном безотрывном движении ее над квадратным отверстием сита, совершающего круговые поступательные колебания в горизонтальной плоскости.
Г.З. Файбушевич рассмотрел вероятность прохождения зерна шаровидной формы через отверстие вибрационного решета как произведение вероятностей попадания центра зерна в отверстие и в определенную зону отверстия. В качестве зоны отверстия он принимал окружность диаметром l sin β — d, где l, d — соответственно диаметры отверстия и зерна; β — угол падения зерна в отверстие. В действительности, как показали исследования, зона отверстия, в которую попадает центр зерна, представляет собой сложную плоскую фигуру, зависящую от соотношения диаметров частицы и отверстия.
В.М. Цециновский и И.Г. Шапиро учли влияние геометрии движущихся вертикально трудных зерен на вероятность прохождения их через отверстие.

Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Рассмотрим решение задачи о прохождении шаровидной частицы через круглое и прямоугольное отверстия вибрационных решет в более общей постановке, с учетом кинематики кромок отверстий решет. Вероятность прохождения зерна через отверстие вибрационного решета в первом приближении можно определять как вероятность прохождения без столкновения с кромками. Такая вероятность находится в промежутке между вероятностью прохождения зерна через отверстие неподвижного решета и вероятностью прохождения через ту часть отверстия, которая при высокочастотных колебаниях решет не «затемняется» кромками. Определим первую из них. Вероятность прохождения шаровидной частицы, движущейся вертикально, через отверстие неподвижного горизонтального решета определяется как отношение площади зоны отверстия, попадание в которую центра масс зерна гарантирует проход через отверстие, ко всей площади отверстия (рис. 8.12, а). Для прямоугольного отверстия эту вероятность находим из выражения
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Несколько сложнее определить вероятность прохождения через отверстие зерна, движущегося под углом к плоскости решета. Для неподвижного решета с прямоугольными отверстиями
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

где β и δ — проекции угла падения частицы на вертикальные плоскости, проведенные через оси симметрии отверстия.
Вероятность прохождения зерна, движущегося под углом к горизонту, через круглое отверстие решета определяется отношением площади, ограниченной предельной кривой, на которой располагаются центры частиц, к площади проекции отверстия на плоскость, перпендикулярную направлению движения зерна. Очевидно, что прохождение зерна размером d, движущегося под углом β, через круглое отверстие диаметром l можно рассматривать как вертикальное движение частицы через эллипс с полуосями 1/2 и (1 sin β)/2}(рис. 8.12). При этом кривая линия, на которой располагаются центры частиц при условии касания ими кромок отверстия, описывается следующими параметрическими уравнениями:
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Эти уравнения получены заменой радиуса кривизны величиной d/2 в параметрических уравнениях эволюты эллипса. Кривая (8/39) является эквидистантной к эволюте, если радиус частицы меньше наименьшего радиуса кривизны эллипса в точке В (рис. 8.12, в):
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Как видно из рис. 8.12, в, в зависимости от размеров отверстия и шаровой частицы и от угла падения возможны два случая пределов интегрирования замкнутой кривой (8.39):
1) если наименьший радиус кривизны эллипса p>0,5d, то пределами интегрирования будут значения угла φ от 0 до 2π;
2) если p<0,5d, то пределами интегрирования будут значения угла φ от до 0,5π. Угол φ1 определяется из выражения
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Как точное, так и приближенное вычисление площадей S1 и S2 с помощью интегралов (8.42) и (8.43) затруднено. Автором было проведено исследование возможности замены кривой (8.39) более простыми замкнутыми кривыми, вычисление площадей которых не вызывает затруднений. Расчеты показали, что с достаточно высокой точностью кривую (8.39) можно заменить:
а) при выполнении условия (8.40) — эллипсом с осями l—d и l sin β—d (рис. 8.12, б);
б) при невыполнении условия (8.40) — дугами двух окружностей диаметром l—d, центры которых сдвинуты на расстояние d/sin β—d в направлении проекции траектории движения частицы на плоскость отверстия (рис. 8.12, г). Формула приближенного определения вероятности имеет вид:
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Ниже приведены численные значения вероятностей, определенные по точным и приближенным формулам, для наиболее неблагоприятных значений v и σ0** (v = 0,1; σ0** = 0,146), что соответствует решету с круглыми отверстиями диаметром 0,5 мм:
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Из этих данных видно, что максимальная ошибка при замене точных формул приближенными не превышает 1,2%. Ошибка зависит от соотношения размеров зерна и отверстия и угла падения зерна. На рис. 8.13 приведены области использования приближенных формул. При сочетаниях v и βпр, лежащих выше предельной кривой,
βgp* = arcsin √v,

необходимо использовать формулу (8.46), ниже — формулу (8.47). Если диаметр частицы больше меньшей оси эллипса, то прохождение теоретически невозможно, поэтому нижняя область дополнительно ограничена кривой (рис. 8.13)
βпр = arcsin v.

Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Для вибрационного решета попадание зерна в отверстие еще не свидетельствует о полной возможности прохождения через него. Вероятность прохождения зерна через отверстие зависит прежде всего от взаимодействия с кромками, которое, в свою очередь, зависит от кинематических параметров работы решета (амплитуды, частоты и формы траектории). Рассмотрим эту вероятность при довольно жестких условиях — зерно пройдет через отверстие, если не произойдет столкновения с кромкой. Для неподвижного решета вероятность определяется геометрическими соотношениями, аналитическое представление которых дано формулами (8.38), (8.46) и (8.47). Очевидно, что значение вероятности прохождения зерна через отверстие при рабочих частотах колебаний вибрационных решет лежит между ее значениями для неподвижного решета и для решета, колеблющегося с очень большой частотой, когда условно можно считать, что пространство, в котором движутся кромки, «затвердевает». Площадь такого фиктивного отверстия для вибрационных решет с прямоугольными отверстиями при поступательных колебаниях в вертикальной плоскости (по эллиптическим, круговым, прямолинейным траекториям) следующая (рис. 8.14, а):
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

При поступательных колебаниях в горизонтальной плоскости по круговым траекториям (в рассевах) эта площадь (рис. 8.14, б)
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

В соответствии с этим вероятность прохождения зерен через прямоугольные отверстия вибрационных решет, совершающих данные виды движения, определяем из выражений:
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

При поступательных колебаниях в вертикальной плоскости вибрационных решет с круглыми отверстиями площадь фиктивного отверстия определяем как площадь-пересечения двух окружностей, сдвинутых относительно друг друга на величину с (рис. 8.14, а):
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Для рассевов с круглыми отверстиями эта площадь равняется площади круга, радиус которого меньше радиуса отверстия на амплитуду колебаний (рис. 8.14, б):
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Вероятность прохождения зерна через круглое отверстие вибрационного решета, совершающего поступательные колебания в вертикальной плоскости, при аппроксимации кривой (8.39) эллипсом определяем, пользуясь следующим выражением:
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Чтобы обеспечить попадание зерна в отверстие, надо предоставить ему возможность по крайней мере 1/Р раз подойти к отверстию. Тогда математическое ожидание количества испытаний, необходимое для попадания зерна в одно из отверстий при движении его по решету, будет:
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

На рис. 8.15 приведены зависимости величин P и N от отношения диаметра частицы к размеру отверстия для неподвижного решета [формулы (8.38), (8.46), (8.47)]. С увеличением этого отношения вероятность попадания частицы в отверстия для решет как с круглыми отверстиями (рис. 8.15, а), так и с прямоугольными (рис. 8.15, б) уменьшается, а количество отверстий, в одно из которых должно попасть зерно, увеличивается и стремится к бесконечности при v → sin β. При одном и том же отношении v большей вероятностью попасть в отверстие обладает частица, движущаяся под большим углом к плоскости отверстия. Предельные значения Pпр и Nпр являются более жесткими с точки зрения прохождения частицы в отверстия, чем предыдущие. Об этом свидетельствуют графики функций, приведенные на рис. 8.15, в, г и построенные для одних и тех же параметров, что и на рис. 8.15, а, б.
Для реальных частот вероятность прохождения зерна через отверстия несколько больше предельной вследствие наличия дополнительной возможности прохождения в течение времени, когда кромки отверстия находятся в положении, не препятствующем прохождению. Для определения этой вероятности в выражениях (8.50), (8.51), (8.54), (8-55), (8.57), (8-58) вместо отношения 2т, определяющего степень «сужения» отверстия, необходимо подставить выражение
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Выше рассмотрена вероятность прохождения зерен через отверстия решет, совершающих поступательные движения. Особенностью пространственных решет является то, что вероятность прохождения зерен через отверстия будет зависеть от места расположения этих отверстий на решете. Например, амплитуда R и угол направленности ε колебаний в вертикальной плоскости отверстий решета, совершающего винтовые колебния вокруг вертикальной оси, изменяются в зависимости от их расстояния R0 до этой оси (рис. 8.17, а), поэтому и вероятность прохождения зерен в отверстия будет уменьшаться (рис. 8.17, б). Для отдельно взятого отверстия вероятность может быть определена с некоторым приближением по приведенным выше формулам, соответствующим направленным колебаниям решета в вертикальной плоскости.
Для машины с вертикальной осью вращения дебалансов вероятность прохождения зерна через отверстия решета будет также функцией расстояния отверстия от вертикальной оси инерции решетного стана. Вероятность для произвольной точки решета можно определять по формулам, полученным для рабочего органа, совершающего поступательные колебания в вертикальной плоскости по эллиптическим траекториям со сдвигом фаз.
Влияние формы зерна на вероятность прохождения его через отверстие можно учесть с помощью показателя, предложенного В.М. Цециновским и И.Г. Шапиро. При этом остаются справедливыми все приведенные ранее зависимости. Для их уточнения необходимо при определении размеров зоны отверстия, попадание в которую центра частицы гарантирует проход через отверстие, вместо простого вычитания радиуса частицы, учитывать угол у между осью отверстия и наибольшей хордой миделева сечения частицы с вершиной в точке касания ее с кромкой отверстия (рис. 8.18). Так как в зависимости от формы частицы в определенном интервале значения угла у равновозможны, можно воспользоваться средневзвешенным значением возможных изменений этого угла.
Рассмотрим интервал возможных значений угла γ для частицы, проекция которой на плоскость решета есть эллипс с осями а и b.
Из рис. 8.18 видно, что угол изменяется от γ0 = 0 до
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

С учетом выражения (8.63) вероятность прохождения зерна эллипсоидной формы через круглое отверстие неподвижного решета
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Если а = b = d/2, то формула (8.65) превращается в формулу (8.37).
Определенная таким образом вероятность еще не дает полного представления о процессе прохождения, так как величина ее может быть несколько иной вследствие возможности частицы пройти через отверстие после столкновения с кромкой. Вероятность встречи частицы с кромкой при условии попадания ее в зону отверстия
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Определим вероятность прохождения частицы после столкновения с кромкой. Для этого рассмотрим изменение скорости частицы после удара о кромку. Предположим, что до встречи частица двигалась со скоростью v0, составляющие которой, определяемые в момент падения на плоскость решета, будут vx0, vy0, vz0 (рис. 8.19). Приведем составляющие к новой системе координат с началом в точке касания К шара с кромкой отверстия. Плоскость х'Ky', касательная к шару, ось z' проходит через центр шара. Очевидно, что в такой системе можно скорость v0 разложить на нормальную v'z0 и касательные v'x0 и v'y0 составляющие. Согласно гипотезе Ньютона об ударе нормальные и касательные составляющие скорости за время удара связаны соотношениями (6.31) и (6.32).
Переход к новой координатной системе может быть осуществлен при помощи углов Эйлера. Угол нутации (рис. 8.19)
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

Подставляя выражения (8.67) с учетом зависимостей (8.68) в соотношения (6.31) и (6.32) найдем составляющие v'x, v'y, v'z, которые определяют величину и направление скорости частицы после удара, а следовательно, и вероятность прохождения частицы через отверстие. При этом возможны два исхода: частица после удара снова попадает в зону отверстия или величина и направление скорости частицы после удара таковы, что она преодолевает сопротивление частиц вышележащего и вклинивается в него, совершая в дальнейшем совместное с ним движение. Попавшая в зону отверстия частица обладает определенной вероятностью свободного прохождения через отверстие без взаимодействия с кромками. Эта вероятность определяется по выражениям (8.50), (8.51), (8-54)—(8.57) с учетом условия (8.60) для скорости и угла падения частицы после удара.
Таким образом, вероятность прохождения частицы через отверстие
Вероятность прохождения зерен через отверстия решет

где P — вероятность свободного прохождения частицы через отверстие; P', Р'' — вероятности свободного прохождения соответственно после первого и второго столкновения с кромками.
Как видно из формулы (8.69), вероятность прохождения увеличивается при большем числе столкновений. Обычно это число конечное и равно 1—4, поэтому в вычислениях можно ограничиться первыми членами ряда.