Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

14.07.2015

Движение по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин сравнительно крупных, способных к перекатыванию семян, можно рассматривать как движение твердых тел с учетом их размеров и формы. Дальше приведены результаты определения одноударного периодического режима, изученного автором совместно с А.И. Завгородним для некоторых семян, поперечные сечения которых, совпадающие с плоскостью колебаний, поддаются аппроксимации правильными геометрическими фигурами. Постановка задачи аналогична принятой в работе.
Рассмотрим движение семени как твердого тела общей формы на участке траектории его полета между ударами о плоскость (рис. 6.15). При этом сопротивлением воздуха пренебрегаем, а массу тела считаем достаточно малой по сравнению с массой колеблющейся плоскости, так что удар тела о плоскость не влияет на закон ее колебаний.

Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Пусть XOY — система неподвижных осей координат; Y = у (t, φ). X = х (t, φ) — законы движения вибрирующей плоскости; φ — угол, характеризующий фазовый сдвиг перемещений плоскости по отношению к выбранному моменту начала отсчета времени; ξОη — система неподвижных относительно колеблющейся плоскости осей координат с началом в точке удара; ξ'O'η' — система подвижных осей координат, перемещающихся параллельно осям системы XOY, с началом в точке соприкосновения О' с телом (плоскости ξОη и ξ'О'η' в момент удара совпадают); х, у, ξ, η, х', у', ξ', η' — координаты центра масс тела и проекции его абсолютной скорости на соответствующие оси координат; α — угол наклона плоскости к горизонту; θ — угол, характеризующий положение тела относительно осей ξ'О'η'; Ω — угловая скорость тела; r — расстояние от центра масс до точки О'; буквами с индексом 0 обозначены величины, соответствующие начальному моменту времени, с индексами «-» и «+» величины соответственно до и после удара.
Положение центра масс тела в произвольный момент полета определяется уравнениями
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Перемещение точки О' связано с перемещением центра масс тела следующими зависимостями:
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Для частиц некоторых форм эти функции можно задать аналитически. Так, например, для эллипса (рис. 6.16, а) их можно записать в виде
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Совместим начало отсчета времени с моментом отрыва тела от плоскости. Тогда при известных начальных условиях х0, у0, θ0, Ω0, φ0 момент t = т0 следующего соударения тела с поверхностью можно определить из уравнения
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Проекции ξ*-, η*- абсолютной скорости точки соприкосновения тела на координатные оси ξОη можно определить по формулам
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Обозначим через d — число оборотов тела за время т. Тогда ударным периодическим режимом движения тела (в случае общей его формы) назовем такой, при котором
φ0 = φ = const; т0 = const; d = q = const,

где q — целое положительное число. При этом для тел симметричной формы, которые имеют k0 осей симметрии, будем считать, что
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

где T — период колебаний плоскости; l — число колебаний плоскости за время одного полета тела.
Для выполнения упомянутого режима движения тела необходимо:
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Начальные условия полета тела после удара найдем, воспользовавшись соотношениями (6.103) и теоремами об изменении количества движения и момента количества движения:
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

где I и J — тангенциальный и нормальный ударные импульсы; р — радиус инерции тела относительно оси, проходящей через точку С и перпендикулярной плоскости колебаний; m — масса тела.
Так как сопротивление воздуха не учитывается, то угловая скорость тела при полете не изменяется. Следовательно,
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Таким образом, в случае одноударного периодического режима движения тела угол θ0, характеризующий начальное размещение тела относительно колеблющейся плоскости, и угол наклона плоскости к горизонту имеют одинаковые значения. Для этих углов удобно ввести общее обозначение
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Выражения (6.115) и (6.118) позволяют составить уравнение
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

из которого можно определить фазу удара и пределы коэффициента кинематического режима, характеризующего интенсивность колебаний плоскости, при которой осуществим одноударный периодический режим.
Рассмотрим три случая удара. Первый случай удара имеем, если
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Следовательно, для осуществления одноударного периодического режима движения тела в первом случае удара необходимо, чтобы угол наклона плоскости к горизонту по абсолютной величине равнялся углу трения скольжения тела по плоскости.
Условием выполнения ξ-*ξ+* ≥ 0 является
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Кроме того, необходимо иметь в виду, что угол θ не может принимать любые значения. Для каждой конкретной формы тела существует определенная область изменения θ с границами θmin и θmax. Следовательно, имеем дополнительное геометрическое условие существования искомого режима для всех случаев удара, которое с учетом выражения (6.113) принимает вид
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

для которых осуществим одноударный периодический режим.
При невыполнении условий (6.126) и (6.127) условия (6.122) и (6-125) несовместимы и указанный режим для тел этих форм в первом случае удара невозможен.
Так как условие, из которого можно было бы определить х0, отсутствует, то х0 может принимать любые значения в пределах выполнения требования (6-124).
Второй случай удара будет, если
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Подставляя выражение (6.133) в первое уравнение системы (6.93) и учитывая, что х0 = 0, можно найти перемещение тела по вибрирующей плоскости xт за время т0, а также среднюю скорость перемещения тела по плоскости
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Среднюю скорость перемещения тела определяем по формуле (6.134).
Сравнивая выражения (6.109) и (6.136) для определения S, придем к полученному ранее равенству (6.123).
Рассматриваемый случай удара имеет место, если не выполнены условия (6.124) и (6.135). Для выявления областей существования отдельных случаев рассмотрим эти условия.
Приняв в неравенстве (6.135) знак равенства, с учетом выражений (6.121) будем иметь уравнение относительно переменных f и у. Считая f аргументом, получим
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Кривая с уравнением (6.143) разобьет полуплоскость f≥0 на две области P и F возможного существования соответственно второго и третьего случая удара, при этом она будет принадлежать области Р.
Далее воспользуемся условием (6.124). Приравнивая его нулю и подставляя поочередно величины ξ-* и η+*, найденные для второго и третьего случаев удара, получим уравнения некоторых кривых γi = γi (t), здесь i = 1, 2, выделяющих на полуплоскости f≥0 соответственно области Q', Q'', где, включая границы, условие (6.124) не выполняется.
Искомыми областями будут: для второго случая удара F Д Q'; для третьего случая FAQ"; при этом любые точки данных областей должны удовлетворять геометрическому условию (6.125).
Первый случай удара выполняется на линии γ=±arctg f при условии
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Угол γmax → 0 при n → ∞, ε → 0 (рис. 6.17 и 6.18), следовательно, для окружности одноударный периодический режим движения возможен при γ = 0.
Для правильного шестиугольника на основании расчета построены области PAQ' и FAQ''. При этом области Q' и Q" практически совпадают (Q' = Q" = Q), области F и Q не перекрываются, а область Q полностью содержится в области Р, так что PAQ = Q.
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости

Аналогичные построения для эллипса ε = 0,9 соответственно значениям zj (j = 1,2) представлены на рис. 6.19, б. Здесь Qj = Q''j = Q, FjAQ = Q, PiAQ = Q. Графики на рис. 6.19, а и б показывают, что наиболее вероятными для одноударного периодического режима движения является второй случай удара.
Одноударный периодический режим движения семян по вибрирующей плоскости