Движение частицы по рабочему органу машины с винтовыми колебаниями решета

14.07.2015

Произвольная точка рабочего органа машины с винтовыми колебаниями решета (см. рис. 1.3, в) совершает колебания по закону

Эта параметрическая форма записи уравнений получена из выражений (4.21) и (4.23). Начало системы координат OX0Y0Z0 совпадает с координатой рассматриваемой точки в положении статического равновесия системы, причем ось OZ0 направлена вертикально вверх, ось OY0 — вдоль радиуса решета от центра к периферии, ось OX0 — перпендикулярно радиусу решета.
Дифференцируя дважды по времени уравнения (6.57) и подставляя их в систему (6.2), получаем

Система этих уравнений нелинейна. Ее решение можно получить приближенно итерационным способом. При этом выражения для перемещений будут иметь следующий вид:

Полное перемещение частицы за один этап переключений и радиус-вектор конца движения частицы определяем по формулам

где rn — радиус-вектор точки, соответствующей началу движения частицы; σn — среднее значение угла σ за один этап переключений; этот угол находим по схеме итерации, описанной ранее.
В результате решения задачи по приведенным выше уравнениям установлено, что усредненная траектория движения частицы, состоящая из микроскольжений, представляет собой медленно разворачивающуюся спираль. Кривизна спирали изменяется настолько медленно, что при диаметре решета 1 м и начальном радиус-векторе 0,1 м последний при перемещении частицы до периферии решета повернется на угол γ = 2πk + γ0* (где γ0* — начальный угол; k ≫ 1), поэтому форма решета в виде круга является наиболее приемлемой для данной машины.
Используя выражения (6.57), из системы (6.4) получим уравнения движения частицы с отрывом от плоскости в таком виде:

При получении формул (6.65) было учтено, что при движении частицы по горизонтальной плоскости составляющие скорости в начальный момент времени x0* и у0* равны нулю. Угол падения частицы на колеблющуюся плоскость определяем из уравнения

Из выражений (6.65) следует, что полное перемещение частицы за один этап переключений соответствует ее перемещению вдоль оси х, т. е. оно перпендикулярно радиусу решета, проведенному через точку, которая соответствует началу полета частицы, а следовательно, направлено по касательной к окружности, проведенной из центра решета через эту точку.

Геометрическая интерпретация движения частицы показана на рис. 6.6. Из рисунка видно, что усредненная траектория движения частицы по решету представляет собой медленно разворачивающуюся спираль. Радиус-вектор точки падения, соответствующий концу полета, можно определить из выражения

По приведенным выражениям были вычислены параметры движения частицы для следующих данных машины: M = 150 кг; Jz = 11,0 кг*м2; m = 0,35*10в-3 кг; r = 0,1 м; а = 0,24 м; рφ = 30 рад/с; = 35 рад/с. Угол взаимного расположения дебалансов α для некоторых вариантов изменялся от 0 до 90° через каждые 10°, а частота колебаний — от 100 до 400 рад/с через 20 рад/с. Некоторые результаты вычислений приведены на графиках. На рис. 6.7 показано для α = 45° изменение углов отрыва частицы от плоскости φ0* и падения частицы на плоскость φn в зависимости от частоты колебаний. Из графиков видно, что угол отрыва с ростом частоты уменьшается, а угол падения — увеличивается. Вследствие того, что разность углов φn—φ0* увеличивается, возрастает как полное перемещение частицы (рис. 6.8, а), так и его средняя скорость (рис. 6.8, б).

Из формул (6.57) и (6.65) видно, что горизонтальная составляющая амплитуды колебаний Rξ, а следовательно, скорость и перемещение частицы линейно зависят от расстояния R0 от центра решета до его точки, с которой начался полет частицы. Это подтверждают и графики функций Sx (R0) и vср (R0), построенные для различных частот колебаний и углов взаимного расположения дебалансов (рис. 6.8, в—е).
Изучали также составляющие скорости падения в относительной системе координат х и z. Из графиков рис. 6.9, а видна линейная зависимость х (R0), при этом угол наклона прямой к оси R0 изменяется с изменением угла α. Составляющая скорости х принимает для некоторых углов α положительные значения, а для некоторых отрицательные (рис. 6.9, а). Рассматриваемой частоте колебаний (ω = 240 рад/с) соответствуют отрицательные значения z для всех углов α (рис. 6.9, б), причем так как вертикальная составляющая амплитуды колебаний Rζ не зависит от R0, то и графики функций z*(R0) представляют собой прямые линии, параллельные оси R0.

Частота колебаний существенно влияет на составляющие скорости падения x* и z*. Из рис. 6.7 видно, что функция x(ω) изменяется нелинейно, причем для некоторых частот колебаний принимает положительные значения, для некоторых отрицательные.
Функция z*(ω) для данного угла взаимного расположения дебалансов (α = 45°) отрицательна на всем диапазоне изменения частот. С ростом частоты колебаний z*(ω) по абсолютной величине возрастает, что является очевидным, так как с ростом частоты колебаний увеличивается высота подъема частицы. Как будет показано дальше, максимальные по абсолютной величине значения z*(ω) расположены в окрестности режимов с непрерывным подбрасыванием частицы.
На рис. 6.10 показано изменение угла падения частицы в относительной системе координат для значений R0, равных 0,1 и 0,5 м:

Так как функция х (ω) приобретает как положительные, так и отрицательные значения, а функция z (ω) только отрицательные, то и функция βn(ω) знакопеременна.
Расчеты по приведенным формулам и результаты экспериментов показывают, что осредненной траекторией движения частицы является медленно разворачивающаяся от центра решета спираль. За время перемещения частицы от центра до периферии радиус-вектор ее повернется вокруг вертикальной оси много раз и средняя траектория будет состоять из такого же количества витков.
Учитывая, что перемещение частицы Sx исчисляется несколькими миллиметрами, построение траектории графическим путем является трудоемким и недостаточно точным. Предложен более точный и менее трудоемкий способ построения осредненной траектории. Как упоминалось, перемещение Sn, являющееся полным перемещением частицы, линейно зависит от R0 и направлено вдоль оси х, т. е. перпендикулярно координатной оси у, проходящей через центр решета. Это видно также из графиков (см. рис. 6.8, в, г). Для одной из частот колебаний ω = 300 рад/с при α = 45° построена эпюра изменения перемещения Sn вдоль радиуса рабочего органа (рис. 6.11, а). Из рисунка видно, что перемещения частицы на каждом из радиусов (R0 = 0,2; 0,3; 0,4; 0,5 м) пересекают под одним и тем же углом γ биссектрису угла ψ, проходящую через центр решета О. Учитывая, что перемещения Sn — величины малые по сравнению с размерами рабочего органа машины, можно предположить, что каждое из перемещений представляет собой не что иное, как небольшой участок логарифмической спирали — усредненной траектории движения частицы. Уравнение логарифмической спирали в полярной системе координат (рис. 6.11, б) имеет вид

где Rт — текущая координата произвольной точки М; R*0 — координата точки M0, соответствующая началу движения частицы; Ω — угол поворота радиус-вектора Rт; k — параметр спирали, определяемый из выражения

Угол γ приближенно можно определить из геометрических соотношений между Rn и Sn (рис. 6.11, а):

где Sn определяется по формулам (6.65), (6.67).
Тогда уравнение осредненной траектории движения частицы по рабочему органу можно записать в таком виде:

Параметр k, влияющий на кривизну спирали, является функцией как конструктивных параметров, так и динамических факторов системы, поэтому приведенные формулы позволяют определять оптимальные параметры вибрационного перемещения материала по рабочим органам машин данного типа.

Нa рис. 6.11, в, г приведены траектории движения частицы для упомянутых выше параметров: угла 45° и двух частот колебаний 300 и 400 рад/с, которым соответствуют значения к, равные 0,014109 и 0,03184. Траектории рассчитывали по формуле (6.72) с увеличением угла Ω через каждые 10°. Начальные значения координат точек приняты: Ω0 = 0, a R0 соответственно 0,2 и 0,1 м.
Из графиков видно, что частица, перемещаясь в первом случае от точки решета с координатой R0 = 0,2 м до точки с координатой R0 = 0,6 м, проходит 13 полных витков траектории. Во втором случае частица, перемещаясь от точки решета с координатой R0 = 0,1 м до точки с координатой R0 = 0,6 м, проходит 9 витков, а от точки решета с координатой 0,2 м до точки с координатой 0,6 м проходит 5,5 витков, т. е. количество витков траектории сократилось более чем в 2 раза по сравнению с предыдущим случаем. Таким образом, с повышением частоты колебаний кривизна траектории движения частицы уменьшается.
Расстояние, на которое переместится частица в направлении радиуса решета за время поворота ее радиус-вектора на один оборот вокруг вертикальной оси, можно определить по формуле

Подобным образом можно проследить изменение траектории в зависимости от изменения остальных параметров системы.
Автором с А.В. Миняйло проведены теоретическое, с использованием выражения (6.72), и экспериментальное исследования влияния частоты колебаний ω, угла α взаимного расположения дебалансов, массы дебалансов m и расстояния а между плоскостями вращения дебалансов на вид траектории движения плоской частицы. Для удобства кривизну спирали характеризовали количеством витков, укладывающихся на круге с меньшим диаметром, равным 0,2 м и большим 1,0 м. Чем медленнее разворачивается спираль, тем большее количество витков укладывается на круге.

Так как перемещение Sn в выражении (6.72) определяли в предположении, что частица неупругая, то эксперименты проводили с плоской картонной шайбой, обладающей сравнительно малым коэффициентом восстановления. На рис. 6.12 приведена схема экспериментальной установки и графики, показывающие влияние частоты колебаний и параметров вибратора на количество п витков траектории движения. Получено удовлетворительное согласование результатов теории и эксперимента.
Так как условия (6.63) и (6.64) не зависят от координаты Rn, то они выполняются для всего рабочего органа, поэтому на рабочем органе изучаемой машины возможно движение частиц в регулярных установившихся режимах. Определим параметры регулярного режима движения частиц с непрерывным подбрасыванием. После подстановки условий (6.36) в уравнение (6.66) получим

Условие (6.75) соответствует верхнему пределу существования режима непрерывного подбрасывания частицы с периодом переключений T = T0p. Это условие получено в предположении, что при неупругом ударе частицы о поверхность решета начальные значения скоростей х*0, у*0, z*0 равны нулю. Угол отрыва соответствует условию (6.63):

Из графиков рис. 6.7 видно, что частота колебаний существенно влияет на параметры режимов с непрерывным подбрасыванием. Так, первый режим, соответствующий р = 1, выполняется при ω = 215 рад/с, второй режим, соответствующий р = 2, выполняется при ω = 300 рад/с, третий режим, соответствующий р = 3, выполняется при ω = 380 рад/с и т. д. Из графиков рис. 6.8 видно, что с ростом частоты полное перемещение в регулярных режимах, определяемое по формуле (6.77), увеличивается. В первом регулярном режиме для R0 = 0,5 м оно равно 0,65*10в-2 м, во втором 1,35-10в-2 м, в третьем 2,025*10в-2 м.
Сравнение теоретической средней скорости движения плоской частицы со средней экспериментальной скоростью слоя семян дало удовлетворительное совпадение (рис. 6.13).
Рассматривая этот же установившийся регулярный режим движения частицы с учетом коэффициентов восстановления скорости (6-31) и мгновенного трения при ударе (6.32), получим выражение для угла отрыва частицы от плоскости

В данной главе изучен характер движения частиц по горизонтально расположенным рабочим органам, совершающим пространственные движения. Такие рабочие органы устанавливают в вибрационных зерноочистительных машинах, у которых разделение происходит как при помощи решет, так и при движении частицы монослоем на неперфорированных фрикционных плоскостях. Особенности движения частицы по рабочим органам, совершающим поступательные движения, здесь не приведены ввиду того, что они достаточно полно разработаны другими исследователями.