Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

14.07.2015

Следуя методике А.М. Василенко, дифференциальные уравнения общего случая движения частицы по плоскости, совершающей сложные пространственные колебания, запишем в проекциях на подвижные оси координат (рис. 6.1):

Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

где ах, ау, аz — проекции абсолютного ускорения на подвижные оси координат; C1, C2, C3 — направляющие косинусы осей подвижной системы координат относительно неподвижной; f — коэффициент трения скольжения частицы по поверхности решета; N — нормальная реакция; х, у — проекции скорости движущейся частицы на подвижные оси координат х и у.
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Выражая силу N из третьего уравнения системы (6.1), подставляя ее значения в первое и второе уравнения и в процессе преобразования пренебрегая произведением малых величин X0, Y0, Z0, x, y, z, φ, ψ, θ, получаем уравнения безотрывного движения частицы по плоскости в таком виде:
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

где X0, Y0, Z0 — координаты подвижной системы координат относительно неподвижной (закон движения рабочего органа).
Принимая в уравнениях (6.1) N = 0, запишем уравнения движения частицы с отрывом от плоскости в проекциях на оси подвижной системы координат (уравнения полета частицы):
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Учитывая значения проекций абсолютного ускорения на подвижные оси координат аx, аy, аz, направляющих косинусов C1, C2, С3 и принимая во внимание, что ψ ≪ 1, θ ≪ 1, уравнения (6.3) запишем в таком виде:
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Уравнения (6.2) и (6.4) позволяют определять, как частные случаи, дифференциальные уравнения движения частицы по шероховатым поверхностям, совершающим колебания по произвольному, но записанному в параметрической форме закону X0, Y0, Z0.
Ввиду того, что рабочие органы вибрационных машин совершают колебательное движение, реакция N, входящая в уравнения движения (6.1), будет периодической функцией времени
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

С увеличением интенсивности колебаний функция N (t) в некоторые моменты времени будет уменьшаться настолько, что при определенных значениях кинематических параметров может равняться нулю, т. е. N (t) = 0.
Это условие с учетом зависимости (6.5) является основополагающим при определении границ режимов отрывного и безотрывного движения частицы по поверхностям, совершающим поступательные колебания, и при определении границ зон безотрывного движения и движения частиц с отрывом по рабочему органу, совершающему пространственное движение, так как на пространственно движущемся рабочем органе одновременно могут быть обе зоны движения частиц.
Проведем интегрирование дифференциальных уравнений движения частицы без отрыва от плоскости по рабочему органу машины с вертикальной осью дебалансов вибратора.
Подставляя вместо X0, Y0, Z0 вторые производные выражений (4.5) и вводя обозначения
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Эти уравнения являются по существу нелинейными. Трудность решения их в замкнутом виде состоит в том, что часть параметров (ε, R, δ, τ) зависит от приложенных к частице сил и связана с неподвижными координатами, а параметр σ, зависящий от траектории движения частицы, связан с подвижной системой координат.
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Для определения параметров и режимов движения частицы разработана схема приближенного итерационного метода решения этих уравнений. По данному методу, не интегрируя дифференциальные уравнения в промежутке между началом и концом скольжения частицы за один период колебаний плоскости, зная координаты начала скольжения, определяем координаты конца скольжения за один цикл. Принимая на первом этапе интегрирования постоянными параметры ε, R, δ, τ (так как сдвиги за цикл работы машины — величины малые, порядка десятых долей миллиметра), считая постоянным (как бы заранее известным) угол σ — угол касательной к траектории движения в относительной системе координат, и заменяя его средним углом, равным углу хорды, которая проведена через начало и конец движения частицы за один цикл работы машины (рис. 6.2), а также рассматривая установившийся процесс движения частицы по рабочему органу, получим выражения для сдвигов частицы вдоль осей х и у:
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Зная эти зависимости, запишем формулу для определения среднего значения угла σ за один этап движения:
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Подставляя вместо Sx (σ) и Sy (σ) выражения, полученные путем интегрирования, будем иметь уравнения следующего вида:
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

где F — оператор, действующий на неизвестный элемент какого-то нормированного пространства; σ и q — соответственно неизвестный и известный элементы нормированного пространства.
Для нахождения приближенного значения угла σ, которое меньше всего отклонялось бы от действительного значения, применяем метод итераций по следующей схеме:
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

где σ0 — начальное нулевое приближение к σ; σ1 — первое приближение; σ2 — второе приближение и т. д.
Процесс итерации заканчивается при выполнении равенства (6-12) для определенного количества значащих цифр.
Определив σ, Sx (σ) и Sy (σ), можно получить полное перемещение частицы за цикл
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Подсчитав ε и R для точки Mn и приняв угол σn, полученный для точки Mn как начальное приближение, по схеме итерации определяем угол σn+1 для точки Mn+1 и величину сдвига за цикл Sn+1.
Зная эти величины, по формуле (6.14) подсчитываем радиус-вектор rn+2 конца скольжения за второй цикл. Данный процесс повторяем для точек Мn+2, Мn+3 и т. д. до точки M0*, координаты которой соответствуют границе между зоной движения со скольжением и зоной движения с отрывом от плоскости.
По описанному методу получено решение системы дифференциальных уравнений (6.8) для общего случая работы вибратора.
В положительном направлении оси х частица может начать движение в промежутке фазовых углов от ωt1 = π - arccos v+ до ωt2 = π + arccos v+ .
В отрицательном направлении оси х частица может начать перемещаться в промежутке фазовых углов от ωt3 = 2π - arccos v- до ωt0 = arccos v-, где
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Подставляя выражения (6.16) и (6.17) в формулы (6.9) и (6.10) получаем оператор (6.11), с помощью которого по схеме итерации (6.12) определяем приближенное значение угла σ с достаточной для решения задач точностью, после чего по формулам (6.9) находим значения проекций перемещения частицы на подвижные оси координат. Далее по формулам (6.13) и (6.14) можно определить координаты точки в конце цикла, т. е. построить осредненную траекторию движения частицы по рабочему органу машины и исследовать влияние различных параметров системы и ее динамических факторов на параметры и форму этой траектории.
Рассмотрим интегрирование дифференциальных уравнений движения частицы с отрывом от плоскости. Подставляя в уравнения (6.4) вместо X0, Y0, Z0 вторые производные от функций (4.5), получаем уравнения полета частицы в таком виде:
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Угол поворота ротора вибратора, соответствующий моменту падения частицы на колеблющуюся плоскость, определяем из уравнения
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Чтобы определить составляющие скорости движения частицы x0*, y0*, z0* в момент отрыва от вибрирующего рабочего органа, необходимо указать закон изменения скорости частицы в момент соударения. Считают, что соударение происходит практически мгновенно, влиянием удара на движение рабочего органа пренебрегают и предполагают, что в процессе удара изменяются только составляющие скорости частицы. Нормальная составляющая относительной скорости частицы z изменяется согласно Ньютоновой теории удара
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Касательные составляющие скорости частицы изменяются только по значению, а не по направлению. Их значения до и после удара связаны соотношениями
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Прежде чем перейти к отысканию и классификации типичных режимов движения частицы по рабочему органу, обсудим некоторые предварительные результаты решения этой задачи. Изучим влияние на движение частицы таких параметров, как координаты точки на рабочем органе, частоты колебаний и угла взаимного расположения дебалансов вибратора. Среднюю скорость движения определяем по формуле
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Достаточно подробно эта задача исследована в работе и др. Здесь приведем только некоторые результаты (рис. 6.3 и 6.4). На рис. 6.3 приведены графики функций φ0*(R0), φn(R0), S(R0), σ(R0), vcp(R0) для трех значений угла взаимного расположения дебалансов вибратора α (α1 = π/2; α2 = 0; α3 = 3/2π). Резкое увеличение угла падения и перемещения на графиках при R0 = 0,22/0,24 и R0 = 0,38 /0,4 м вызвано достижением вертикальной составляющей амплитуды колебаний такого значения, при котором частица после подбрасывания падает на решето в промежутки (2k — 1)π < φ < 2кπ (k = 1, 2, 3, ...), т. е. в такие промежутки времени, когда частица и решето движутся в одном направлении — вниз. По этой же причине резко увеличиваются ординаты графиков функций φn (ω), S (ω) и vcp (ω) при частотах колебаний 250—260 и 330—340 рад/с. При значениях R0 и ω, которым соответствует σ = π/2, траектория движения частицы по рабочему органу представляет собой концентрическую окружность.
Уравнения движения зерновой смеси по рабочим органам вибрационных зерноочистительных машин

Угол взаимного расположения дебалансов ос существенно влияет на вид и параметры траектории движения частицы по рабочему органу (рис. 6.4). Два раза, при α = 0 и α = 180°, траектории частиц для всех частот мало отличаются от прямых линий. При всех остальных углах траектории представляют собой спирали. При изменении угла α от 0 до 2π кривизна спиралей 2 раза бывает постоянной. В этих случаях частицы движутся по концентрическим окружностям.
На траекторию движения частицы влияет также частота колебаний. С увеличением кривизны спиралей это влияние увеличивается. Особенно сильно влияние частоты колебаний на параметры траектории сказывается в том случае, когда на решете имеются формы траекторий в виде окружностей. На рис. 6.4 видно, что при α = 240° и частоте колебаний ω = 157 рад/с частица движется по медленно разворачивающейся спирали от окружности диаметром d = 300 мм к периферии (с целью большей наглядности при α = 240° траектории движения частицы построены для каждой частоты в отдельности). При этой частоте участок траектории с постоянной кривизной, когда частица движется по окружности, лежит за пределами плоскости рабочего органа. Ho уже при частоте ω = 210 рад/с участок траектории с постоянной кривизной лежит в пределах поверхности рабочего органа (окружность радиусом r*n). При дальнейшем увеличении частоты колебаний радиусы окружностей, по которым движутся частицы, уменьшаются. Для наибольшей частоты 335 рад/с этот радиус r*n = 240 мм.