Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

14.07.2015

Получим условия возникновения нелинейных колебаний и соотношения между параметрами, при которых перераспределение энергии между координатами является благоприятным для машины с вертикальной осью вращения дебалансов вибратора.
Расчетная схема машины приведена на рис. 5.6. Она включает в себя решетный стан 1, в системе которого закреплены решето и вибратор 2 с вертикальной осью вращения дебалансов 3 и 4. Решетный стан в 24 точках упруго подвешен при помощи витых пружин растяжения-сжатия: вертикальных, радиальных, касательных. Точки закрепления пружин представляют собой идеальные шарниры, расположенные по окружности радиусом R0.

Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Положение системы в пространстве определено координатами ξ, η, ζ, φ, ψ, θ. Движение задано шестью уравнениями:
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

где k1, k2, k3, l1, l2, l3 — жесткости и длины соответственно вертикальных, горизонтальных и тангенциальных пружин подвески; mв, mн, рв, рн, zв, zн — массы дебалансов, их расстояния до оси вращения и до центра масс вибрирующей части; α — угол взаимного расположения дебалансов; ω — угловая скорость ротора вибратора; М* — масса вибрирующей части машины без учета масс дебалансов; Jx, Jy — моменты инерции вибрирующей части (без учета масс дебалансов) относительно осей х, у; Jz — момент инерции вибрирующей части (без учета массы ротора вибратора и массы дебалансов) относительно оси z; J*z — момент инерции ротора вибратора (без учета масс дебалансов) относительно оси z; H1, H2, H3 — коэффициенты сил сопротивлений при движении вибрирующей части вдоль осей ξ, η, ζ; H4, H5, H6 — коэффициенты моментов сил сопротивлений при вращении вибрирующей части соответственно относительно осей θ*→, ψ*→, φ*→.
Резонансные режимы, связанные с координатами, в направлении которых не действуют возмущающие силы, искажают закон движения рабочего органа и являются нежелательными. Необходимо знать совокупность параметров колебательной системы, при которой возникают неблагоприятные условия распределения энергии по степеням свободы. С этой целью исследуем устойчивость движения при некоторых вынужденных периодических режимах колебания вибрирующей части на основе нелинейных уравнений (5.27) при выполнении соотношений
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

При исследовании устойчивости малыми принимаем члены, входящие в систему (5.27) и содержащие произведение координат и их производных, члены, учитывающие действие сил трения, а также некоторые нелинейные члены с малыми коэффициентами, т. е. неравенства
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

где рσ — частоты собственных колебаний соответствующей недемпфированной линейной части системы (σ = ξ, η, ζ, θ, ψ, φ); Nξ(t), Nη(t), Nθ(t), Nφ(t) — периодические функции, явно зависящие от времени.
Условия (5.28) показывают, что радикальное перераспределение энергии между координатами системы может быть реализовано при различных резонансных соотношениях. Рассмотрим некоторые из них.
Система уравнений (5.29) описывает общий случай движения решетного стана вибрационной машины. Из нее видно, что по четырем координатам ξ, η, θ, ψ приложены возмущающие силы, а по двум координатам ζ и φ эти силы не действуют, поэтому вначале определим возможны ли интенсивные колебания в направлении координат ζ, φ и если возможны, то при каких соотношениях параметров. Пусть рφ = ω/2 + [με6ω, где ε6ω — расстройка частот, порядок малости которой μ.
Систему уравнений (5.29) будем решать асимптотическим методом с применением операции усреднения. Для этого введем замену переменных:
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Рассматривая выражения (5.30) как формулы замены переменных ξ, η, ζ, θ, ψ, φ, ξ', η', ζ', θ', ψ', φ' новыми переменными Cσ, Dσ, Cσ', Dσ' (σ = ξ, η, ζ, θ, ψ, φ), выполним следующие операции. Продифференцировав первое уравнение системы (5.30) и сравнив его со вторым, запишем
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Из выражений (5.38) следует, что существует устойчивое решение Сφ = dφ = 0, так как корни фундаментального уравнения этой системы имеют вид
λ1,2 = ±Е*.

Подобный анализ показал, что такое же устойчивое решение получается и для других соотношений частот: а) рζ = ω/2 + ε3ω; б) рζ = ω/2 + ε3ω, рφ = ω/2 + ε6ω.
Tаким образом, в общем случае движение машины с вертикальной осью вращения дебалансов вибратора устойчиво к возникновению нелинейных резонансных колебаний в направлении тех координат, где не действуют возмущающие силы и моменты возмущающих сил.
Пусть между параметрами вибрационной машины будет следующее соотношение:
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Тогда P** ≠ 0; P* = q** = q* = 0, где Р** — амплитуда возмущающей силы, разделенная на массу М. По такому закону движутся рабочие органы предложенных автором совместно с Г.Е. Мазневым и А.Н. Полищуком вибрационных сепараторов, предназначенных для разделения семян по свойствам их поверхности.
В резонансном соотношении (5.28) примем n = -2, mζ = 1, тогда
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

где Cσ, Dσ - некоторые функции времени (σ = ξ, η, ζ, ψ, θ, φ); Aξ, Bξ, Aη, Bη - постоянные, представляющие собой амплитуды вынужденных колебаний системы при Фξ = Фη = 0, т. е.
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Из изложенного следует, что при определенных соотношениях параметров системы решение Cψ = Dψ = Cθ = Dθ может быть неустойчивым и возможно возбуждение интенсивных колебаний в направлении координат θ, ψ. Определенным выбором параметров на основе уравнений (5.49) и выражений (5.50) эту неустойчивость можно устранить.
Определим вещественные части корней уравнения (5.49). Для этого примем hθ = hψ; hψ = HψJx-1, hθ = HθJy-1; q2[2Jx(pη2 — ω2)]-1 = q1 [2Jy (pξ2 — ω2)]-1; ε1ω = ε2ω = εω, тогда уравнение будет иметь такой вид:
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

По минорам определителя (5.51) условия устойчивости, полученные из отрицательности вещественной части корней уравнения, будут
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Таким образом, при резонансных соотношениях (5.46) колебания в плоскости координат ψ и θ не возникают.
Случай возникновения колебаний по координате ζ при выполнении резонансного соотношения
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

для системы уравнений (5.42), в которой вместо третьего необходимо записать уравнение
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Таким образом, резонансные колебания по этой координате возникать не будут, так как в системе всегда имеется положительное неупругое сопротивление Hζ.
Для этой же системы рассмотрим случай возникновения интенсивных колебаний в направлении координаты ψ при выполнении резонансного соотношения
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

где (εω)φ — расстройка частот, т. е. изучим случай основного резонанса по координате φ, по которой отсутствует возмущающая сила. В соотношении (5.28) необходимо принять mφ = 1; n = -1.
С учетом условий (5.56) и соотношения (5.40) система (5.29) принимает следующий вид:
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Применяя асимптотический метод с операцией усреднения, для резонансной координаты ψ получим уравнения первых приближений:
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

На рис. 5.7 приведены графики функций (ω) для некоторых значений рη и m. Из графиков видно, что как в первом, так и во втором случае неустойчивые зоны II расположены в окрестности главных резонансов по координате η. С повышением рη зона неустойчивости увеличивается. При этом неустойчивая зона увеличивается в основном за счет удлинения вдоль оси ординат. Основание зон остается неизменным. Отсюда следует, что с увеличением частоты собственных колебаний для предупреждения интенсивных резонансных колебаний по координате ψ (т. е. в направлении той координаты, по которой не действует возмущающая сила) необходимо увеличивать неупругое сопротивление колебательному движению вдоль этой же координаты.
С увеличением массы m дебаланса, что эквивалентно увеличению амплитуды вынужденных колебаний по координате η, зона неустойчивости (зона II) также увеличивается, причем график функции (ω) в этом случае увеличивается вдоль обеих координатных осей. Поэтому с увеличением массы дебалансов при постоянных остальных параметрах во избежание резонансных колебаний вдоль координаты ψ необходимо увеличивать, так же как и в предыдущем случае, неупругое сопротивление колебательному движению.
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Из приведенных графиков видно еще, что резонансное состояние по координате ψ возможно только, в окрестности главных резонансов. Для далеко зарезонансных машин исключается опасность возникновения резонансных состояний по координате ψ в стационарных режимах. Опасность такого резонансного состояния Имеется только для резонансных машин. Этот качественный результат согласуется с результатом, полученным в предыдущем параграфе для машины с движением по круговым траекториям в вертикальной плоскости.
Уравнение (5.63), решенное относительно рη, имеет такой вид:
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

На рис. 5.8 приведены области устойчивости и неустойчивости в координатах рη — ω для следующих значений параметров системы: M = 147 кг; m = 2 кг; р = 0,11 м; = 5 кг*м2*рад/с. Из графика видно, что зона неустойчивости лежит вблизи прямой, проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент, равный единице: рη = ω.
Таким образом, и в этом случае неустойчивые зоны расположены вблизи зоны главного резонанса по координате η. График представляет собой узкую полосу, наклоненную под углом 45° к оси абсцисс и лежащую вблизи прямой рη = ω. Форма графика сохраняется при варьировании параметров m, р, Hψ, М, но начало этого графика сдвигается на величину
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Если для очень малых значений коэффициентов неупругих сопротивлений положить Hψ = 0, то график будет проходить через начало координат, при этом Δ1 = 3 ωmМ-1; Δ2 = 1/3 ωmM-1. Для приведенных выше данных Δ1 = 0,04083ω и Δ2 = 0,004536 ω. При изменении со от 2 до 200 рад/с (т. е. при увеличении в 100 раз) рη1 и рη2 отличаются от со примерно на 0,020415 и 0,00227 соответственно. Получается полоса, которая расширяется при этих значениях со на очень малую величину.
Таким образом, и в данном случае результат качественно совпадает с предыдущим, т. е. резонансное состояние вдоль координаты ψ, в направлении которой не действует возмущающая сила, возможно только в окрестности главного резонанса по координате η.
Случай возникновения интенсивных колебаний в направлении координаты θ при выполнении резонансного соотношения рθ2 = ω2 + (εω)θ аналогичен только что рассмотренному. Условием устойчивости здесь будет неравенство
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Из этого неравенства следует, что интенсивные (резонансные) колебания вдоль координаты θ могут косвенно возбуждаться только в окрестности зоны главного резонанса по координате Для устранения колебаний необходимо увеличить в направлении этой координаты неупругое сопротивление Hθ.
Условия возникновения интенсивных колебаний в направлении координаты φ при выполнении резонансного соотношения рφ2 = ω2 + (εω)φ несколько отличаются от рассмотренных. Они определяются из неравенства
Нелинейные колебания вибрационных машин с пространственным движением рабочих органов

Это неравенство всегда выполняется при соблюдении условия рξ = рη, которое является очевидным, так как вибрирующая часть машины осесимметрична относительно вертикальной оси, поэтому при качественном изготовлении вибрирующей части машины нелинейные резонансные колебания по невозбуждаемой координате φ возникнуть не могут.