Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

14.07.2015

Ранее при определении закона движения рабочего органа в линейной постановке было показано, что рабочий орган машины будет совершать поступательные движения в вертикальной плоскости по круговым траекториям, если ось ротора вибратора будет проходить через центр тяжести колеблющейся части. При этом вибратор должен возбуждать колебания, связанные только с перемещениями по координатам ξ и η. Дальше будет показано, что из-за наличия нелинейных связей между координатами ξ, η, φ возбуждение колебаний возможно и по координате φ, в направлении которой не действует возмущающая сила.

Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Расчетная схема машины (рис. 5.1) включает решетный стан 1 и вибратор 3 с горизонтальной осью вращения дебалансов 2. Решетный стан опирается на упругую подвеску из витых пружин. При исследовании реальные пружины заменены условными — двумя вертикальными и двумя горизонтальными. Колебания предполагаются плоскими, что обеспечивается введением соответствующих связей.
Положение системы определяется линейными перемещениями центра масс от положения равновесия в неподвижной координатной системе ξ, η и углом поворота φ относительно центра масс координатной системы х, у, связанной с вибрирующей частью машины. Использовав теоремы о движении центра масс и кинетическом моменте, получим систему дифференциальных уравнений, описывающую колебательный процесс:
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

где k1, ..., k4, l1, ..., l4 — жесткости и длины вертикальных и горизонтальных пружин; m/2, r — масса дебаланса и расстояние его до оси вращения; ω — угловая скорость ротора вибратора; М* — масса вибрирующей части машины без учета масс дебалансов; J* — момент инерции вибрирующей части относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости колебаний; hi (i = 1, 2, 3) — константы, учитывающие рассеивание энергии по координатам ξ, η, φ.
Из решения линейных уравнений следует, что все точки рабочего органа машины совершают поступательные движения по эллипсу с полуосями Rξ и Rζ [см. выражения (4.61)]. Вследствие нелинейных связей между координатами ξ, η, φ и их производными возникают угловые колебания по координате φ. В большинстве практически важных случаев последние пренебрежимо малы, однако возможно такое перераспределение энергии по координатам, при котором колебания по φ могут оказаться довольно интенсивными, что приведет к нарушению предусмотренного технологического процесса.
Устойчивость системы будем рассматривать при
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Исследуем случай симметричного расположения элементов подвески колеблющейся части машины, при котором k1 = k2 = Cα; k3 = k4 = Cβ; l1 = l2 = lα; l3 = l4 = lβ.
Выделяя при помощи малого параметра μ малые члены второго порядка, запишем систему уравнений (5.2) с учетом выражений (5.3) в виде
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Следуя методам Н.Н. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, ищем асимптотическое решение уравнений (5.5). Вводим замену переменных:
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Подставив выражения (5.6) в уравнения (5.5), получим систему дифференциальных уравнений в стандартной форме для медленно меняющихся функций времени Cγ, Dγ (γ = ξ, η, φ):
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

К системе (5.8) применим метод усреднения и получим уравнения первых приближений в таком виде:
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

При произвольном v уравнениям системы (5.10) удовлетворяют нулевые значения функций Сξ = Dξ = Cη = Dη = 0, которым в первом приближении соответствуют частные решения системы (5.5):
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Как видно из уравнений (5.9), эти решения будут устойчивыми, так как Hξ > 0 и Hη > 0.
Случай I. При v ≠ 1, v ≠ 2 из системы (5.10) получим уравнения для Cφ и Dφ:
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Из уравнений (5.12) следует, что состояние Cφ = Dφ = О будет устойчивым, так как Нφ > 0. Поэтому система будет совершать колебания по закону (5.11) при угловой координате φ = 0.
Случай II. При v = 2 система (5.10) принимает вид
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Первое и второе условия очевидны. При их соблюдении колебательная система устойчива во всем диапазоне изменения параметров α и β, кроме α = β = 1, когда не выполняется условие рξ ≠ ω и рη ≠ ω и в системе могут возникать главные резонансы в направлении координат ξ, η. Третье и четвертое условия требуют дополнительного исследования. Из условия (5.19) получим уравнение для границ областей устойчивости
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Ha рис. 5.2 показаны границы областей устойчивости для машины с параметрами M = 135 кг; r = 0,1 м; m = 0,7 кг. Области неустойчивости заключены внутри замкнутых кривых β(α). При росте hφω-1 области неустойчивости уменьшаются и стягиваются к точке α = 1, β = 1. Однако при каком угодно большом значении hφω-1 найдется такая окрестность точки α = 1, β = 1, где будет неустойчивость.
Используя соотношения рξ2 = 2СβМ-1; рη2 = 2СαМ-1; рφ2 = 2Сαа2J-1, получаем выражения для β и α через конструктивные параметры машины:
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

поэтому условие β = 1, α = 1 выполняется только, если рα-1 = 1 и Cβ Cα-1 = 1.
Из выражений (5.22) и рис. 5.2 следует, что кроме необходимых условий (5.20) достаточными условиями устойчивости будут следующие соотношения:
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

где р — радиус инерции вибрирующей части машины относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости колебаний, который определяет положение точек закрепления упругих элементов подвески (см. рис. 5.1).
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Из условия (5.19) можно получить условие устойчивости, выраженное через параметры машины:
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Ha рис. 5.3 показано изменение границ областей устойчивости в зависимости от соотношения CβCα-1 для ряда значений [ар-1 и в зависимости от ар-1 для ряда значений CβCα-1. Области устойчивости лежат выше этих кривых, а области неустойчивости заключены между кривыми и осью абсцисс.
На рис. 5.4 приведен график огибающей однопараметрического семейства границ областей устойчивости W = f (ар-1, CβCα-1), где ар-1 — аргумент; CβCα-1 — параметр. Уравнение огибающей имеет вид
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Если совокупность параметров машины такова, что определяющая их точка попадет выше огибающей (см. рис. 5.4), то режимы движения машины будут устойчивыми. Если же точка попадет ниже огибающей, то обязательно найдется такое значение CβCα-1, что режим будет неустойчивым.
Из условия (5.25) можно получить уравнение для границ областей устойчивости в виде зависимости
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Знаки «±» в числителе соответствуют различным участкам кривой границы области устойчивости. Пример расчета по формуле (5.26) для разных W представлен на рис. 5.5. Области неустойчивости находятся внутри кривых. С увеличением W области неустойчивости уменьшаются.
Нелинейные колебания машин с движением рабочих органов по круговым траекториям в вертикальной плоскости

Рассмотренные условия возникновения нелинейных колебаний вибрационной зерноочистительной машины с движением рабочего органа по круговым траекториям в вертикальной плоскости свидетельствуют о том, что при выборе оптимальных параметров машины необходимо учитывать некоторые из этих условий. Из всех рассмотренных условия устойчивости (5.19), полученные из равенства рφ = ω, являются определяющими при выборе конструктивных параметров вибрационных машин данного типа.
Пунктирная линия (см. рис. 5.2), проведенная через начало координат под углом π/4 к осям α и β, соответствует совокупностям параметров, при которых частоты собственных колебаний вдоль координатных осей ξ и η равны между собой. Указанные совокупности параметров лежат в областях очевидной устойчивости, кроме точки (1; 1), которая соответствует условиям, когда в системе имеются основные резонансы (рξ = ω, pη = ω). Это обстоятельство вместе с достаточными условиями устойчивости (5.23) необходимо учитывать при проектировании вибрационных зерноочистительных машин резонансного типа, так как совокупности параметров данных машин выбирают из условий, близких к α = β = 1, потому что, как было показано, при соблюдении дополнительных соотношений рa-1 = 1 и CβCα-1 = 1 наблюдается неустойчивость в системе при каком угодно большом hφ. В системе будет происходить перераспределение энергии колебаний между линейными (к которым подводится энергия от источника) и угловыми (к которым энергия от источника не подводится) координатами. Последние будут доминирующими, в результате чего нарушится закон движения рабочего органа и машина будет непригодна к выполнению технологического процесса.
Результаты данного исследования имеют практическое значение и для машин, работающих в зарезонансном режиме. Коэффициенты упругих подвесок для этих машин необходимо выбирать так, чтобы хотя бы одна из собственных частот колебаний была в 2 раза меньше частоты возмущающей силы, т. е. ω ≥ 2рξ; ω ≥ 2η.
При проектировании вибрационных машин, работающих в далеко зарезонансном режиме, это условие практически почти всегда выполняется, так как параметры подвески выбирают еще и из условия передачи на раму машины по возможности меньших динамических нагрузок, что осуществимо только при рξ ≪ ω, pη ≪ ω. Рекомендуется выбирать pζ (8/10) = ω (ζ = ξ, η).