Устойчивость стационарных режимов движения

14.07.2015

Предположим, что pξ>>рψ, тогда устойчивость режимов движения достаточно исследовать в окрестности pξ. Она может быть выяснена путем анализа уравнений в вариациях, составленных для усредненных уравнений (3.19). Записав упомянутую систему уравнений в виде

Устойчивость стационарных режимов движения

где Ф1, Ф2, Ф3 — величины, представляющие правые части уравнений (3.19), и вычислив частные производные от функций (3.31) по a01*, e01*, v*, т. е. по значениям a1, e1, v в стационарных режимах движения, составим критерии устойчивости Рауса—Гурвица для системы в таком виде:
Устойчивость стационарных режимов движения

Все критерии устойчивости оказались зависящими от характеристик источника энергии L(v) и сопротивления H(v).
Если предположить, что крутизна характеристики источника энергии d/dv L (v) меньше крутизны характеристики сопротивления d/dv H (v), то
Устойчивость стационарных режимов движения

Рассмотрим элементы такого анализа для вибрационной машины с вертикальной осью вращения дебалансов вибратора. Когда взаимодействием основных резонансов пренебречь нельзя, уравнения первых приближений имеют вид (3.7). На устойчивость в стационарных режимах данную систему можно исследовать путем анализа уравнений в вариациях. Обозначим правые части уравнений (3.7) через Фi, а неизвестные функции а1, е1, а3, е3, v через xi (i = 1, 2, 3, 4, 5). Составим матрицу коэффициентов
Устойчивость стационарных режимов движения

По теореме Ляпунова для устойчивости стационарного режима (3.41) необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения
Устойчивость стационарных режимов движения

Для определения знака вещественной части корней характеристического уравнения можно применить критерий Рауса — Гурвица.
Запишем уравнение (3.42) в развернутом виде:
Устойчивость стационарных режимов движения

По критерию Рауса — Гурвица необходимым и достаточным условием отрицательности вещественных частей всех корней характеристического уравнения (3.43) является условие: Δi>0 (i = 1, 2, 3, 4, 5). Для вычисления Δi необходимо знать коэффициенты mj (j = 0, 1, ..., 5) характеристического уравнения (3.43). Эти коэффициенты получены и опубликованы в работе.
Таким образом, решая систему уравнений (3.10), можно определить параметры стационарного режима (3.41). Подставляя эти параметры в выражения для mj (j = 0, 1, ..., 5), вычисляем коэффициенты характеристического многочлена (3.43) системы уравнений в вариациях, составленных для исходной системы дифференциальных уравнений (3.7). Далее, зная mj (j = 0, 1, ... , 5), вычисляем Δi (i = 1, 2, ... , 5) по формулам (3.45). Если все Δi>0, то рассматриваемый режим устойчив, если Δi<0, — неустойчив.
По данной методике было изучено также взаимодействие колебательной системы с источником энергии машины с винтовыми колебаниями вокруг вертикальной оси.