Решение уравнений движения методом усреднения

14.07.2015

Отражением взаимосвязи между колебательной системой и источником энергии являются дифференциальные уравнения движения. Связующим звеном между этими системами следует считать силы инерции вращательного движения дебалансов вибратора. Поскольку воздействие неидеального источника энергии на колебательную систему зависит от режима ее движения, оно не выражается в виде явной функции времени и эти колебательные системы, как уже говорилось, приходится рассматривать как автономные.
Структура уравнений, полученных ранее, такова, что позволяет выделить малые силы по сравнению с силами инерции колеблющихся частей машин и восстанавливающими силами. К малым силам отнесены силы инерции вращательного движения дебалансов вибраторов и силы неупругих сопротивлений. Эти силы в дифференциальных уравнениях выделяются введением малого параметра μ, характеризующего слабую нелинейность.
Предположим, что параметры системы по отношению к собственным периодам колебаний изменяются медленно. Тогда для решения задач о взаимодействии колебательной системы с источником энергии в области основных резонансных колебаний может быть применен метод асимптотических разложений по степеням малого параметра. Удобным в этом случае оказывается метод разделения движения или метод усреднения, содержание которого сводится к замене переменных, позволяющей отделить «быстрые» переменные от «медленных».
Рассмотрим колебания в областях основных резонансов. Принятые ограничения будут справедливыми в том случае, когда mвМ-1≪1, mнМ-1≪1, mвrвzвJx-1≪1, mнrнzнJx-1≪1. Тогда с учетом ограничений систему уравнений (2.24) запишем в виде, содержащем малый параметр:

Решение уравнений движения методом усреднения

Для отыскания медленно изменяющихся функций Al (t), El(t), Ω(t) (i = 1, 2, 3, 4) соответственно амплитуд, фазовых углов и частоты вынужденных колебаний вводим замену переменных:
Решение уравнений движения методом усреднения

Подставляя выражения (3.3) в уравнения (3.1) и применяя метод усреднения, составим уравнения первых приближений ai, ei, Ω, υ функций Ai, Ei, Θ (i = 1, 2, 3, 4) в таком виде:
Решение уравнений движения методом усреднения

Уравнения (3.4) описывают нестационарные колебания системы при прохождении ее через резонансы. Так как колеблющаяся часть машины симметрична относительно вертикальной оси инерции, то pξ = pη и рφ = pθ и, следовательно,
Решение уравнений движения методом усреднения

Учитывая зависимости (3.6) и принимая во внимание, что hξ = hη и hψ = hθ, систему уравнений (3.4) можно упростить и записать в таком виде:
Решение уравнений движения методом усреднения

Уравнения типа (3.7) для вибрационных зерноочистительных машин оказываются сложными нелинейными уравнениями и только в исключительных случаях могут быть проинтегрированы в явном виде. В общем случае их приходится интегрировать численно.