Уравнения движения

14.07.2015

Колеблющаяся часть большинства вибрационных машин может быть представлена в виде твердого недеформируемого тела, которое связано с неподвижным основанием подвеской, состоящей из системы упругих элементов и позволяющей телу совершать любые пространственные движения. В этом случае твердое тело обладает шестью степенями свободы. В системе твердого тела жестко крепятся рабочий орган и k механических вибраторов. Инерционные силы, возникающие при вращении дебалансов вибраторов, выводят твердое тело из положения равновесия. При этом совершается движение, которое может быть, в зависимости от расположения осей и направления вращения роторов вибраторов, простым поступательным или сложным пространственным.
На рис. 2.1 приведена схема динамической системы пространственной вибрационной машины с жестким креплением вибраторов в системе твердого тела, которое для случая вибрационной зерноочистительной машины можно назвать решетным станом.

Уравнения движения

Для определения положения решетного стана выбираем пространственную систему координат, состоящую из трех взаимно перпендикулярных осей Oξ, Оη и Oζ. В решетном стане за начало координат принимаем центр тяжести (точка O') и проводим через него три координатные оси О'х, О’у и 0"z, неизменно связанные с решетным станом. Оси системы координат O’xyz выбираем так, чтобы, совместив плоскость О'ху с плоскостью Oξη и направив ось О'х по Oξ, иметь ось О'у, совпадающую с Оη, и ось O'z, совпадающую с осью Oζ. При t = 0, т. е. в положении статического равновесия, оси подвижной системы координат O'xyz должны совпадать с осями неподвижной системы координат
На рис. 2.1 , а показана схема динамической системы пространственной вибрационной машины в положении статического равновесия. Твердое тело связано с неподвижным основанием системой пружин, число которых n. Положение точек присоединения пружин к раме характеризуется точкой Оj* с координатами в подвижной системе хj*, уj*, zj* и углами направляющих косинусов осей пружин αj*, βj* и γj*, где j = 1, 2, 3, ..., n.
В системе рабочего органа жестко закреплены к механических вибраторов. Положение вращающейся точечной массы дебаланса вибратора mi (i = 1,2,3,..., k) определяется положением точки Oi пересечения плоскости вращения точечной массы с ее осью вращения; точка имеет координаты xi, yi, zi; положением оси вращения дебалансов O'Oi, углы направляющих косинусов которой в подвижной системе координат αj, βj и γj; удалением точечных масс дебалансов от их осей вращения ri; начальными фазовыми углами между радиусом ri и проекциями осей относительной системы координат на плоскость вращения точечной массы vαj, vβj и vγj.
Если известны координаты любой точки твердого тела (решетного стана) x, y и z в подвижной системе (рис. 2.1, б), то текущие координаты этой же точки относительно неподвижной системы можно определять из зависимости между величинами х, у, z и ξ, η и ζ:
Уравнения движения

где ξ0, η0, ζ0 — координаты центра тяжести решетного стана, определяющие положение начала подвижной системы координат O'xyz относительно неподвижной Oξηζ; а1, b1, c1 и т. д. — косинусы углов между осями подвижной и неподвижной систем координат, которые определяют направление каждой из этих осей.
Для определения движения рабочих органов вибрационных машин значения направляющих косинусов принимаем в виде корабельных углов, примененных А.И. Крыловым при исследовании качания корабля на тихой воде:
Уравнения движения

Так как уравнения движения твердого тела, записанные через направляющие косинусы (2.2), являются нелинейными и при их интегрировании затруднительно получить решение в замкнутом виде, то тригонометрические функции обычно заменяют их приближенными значениями в виде разложений в ряды по степеням малых величин φ, ψ и θ. Если отбросить третьи и выше степени малых величин, то таблицу косинусов (2.2) можно записать так:
Уравнения движения

Учитывая, что φ, ψ и θ — величины малые, таблицу (2.3) можно записать с достаточной для рассматриваемой задачи точностью в другом виде:
Уравнения движения

Проекции перемещения любой точки твердого тела на оси неподвижной системы координат определяются из уравнений (2.5). Проекции перемещения точечных масс дебалансов вибратора на неподвижные оси координат определяются из выражений
Уравнения движения

Для составления дифференциальных уравнений движения воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода
Уравнения движения

где L = T—П — функция Лагранжа; qi — обобщенные координаты системы, число которых равно числу степеней свободы.
Рассматриваемая система имеет 6+k степеней свободы, где k — число вибраторов.
За обобщенные координаты приняты следующие переменные: q1=ξ, q2=η, q3=ζ, q4=φ, q5=ψ, q6=θ, qi=Ωi (i = 1, 2, ..., k), где Ωi — угол поворота i-го ротора вибратора; Qi — выражение обобщенных сил, не имеющих свойств потенциала: Q1=Qξ; Q2=Qη; Q3= Qζ; Q4=Qφ; Q5=Qψ; Q6=Qθ; Qi=QΩi (i = 1, 2, ..., k).
Полная кинетическая энергия колеблющейся части вибрационной машины имеет следующее выражение:
Уравнения движения

где М* — масса решетного стана и корпусов вибраторов без учета масс дебалансов; mi — масса i-го дебаланса.
Подставив вместо ξ, ξi,η, ηi, ζ, ζi их значения, после преобразований получим выражение кинетической энергии системы
Уравнения движения
Уравнения движения

При составлении выражения для потенциальной энергии колебательной системы принимаем, что деформация пружин линейно зависит от приложенных к ним сил.
Как известно, потенциальная энергия колебательной системы состоит из энергии положения и энергии деформации упругих связей:
Уравнения движения

где kj|| и kj|_, uj|| и uj|_ — жесткости и составляющие перемещения точек присоединения к решетному стану j-й пружины в направлении, параллельном и перпендикулярном оси пружины.
Подставив в уравнение (2.10) выражения для ζ, ζi, uj|_, uj||, получим
Уравнения движения

где fiст — статическая деформация j-й пружины в направлении оси ζ под действием веса решетного стана.
Обобщенными силами, стоящими в правых частях первых шести уравнений Лагранжа, будут силы, которые характеризуют рассеяние энергии, связанное с движением массы M*, а именно:
Уравнения движения

где Cξ, Cη, Cζ, Cφ, Cψ, Cθ — коэффициенты сопротивления перемещению решетного стана вдоль и вокруг координатных осей ξ, η, ζ.
Обобщенные силы седьмого и более уравнений Лагранжа представляют собой сумму, состоящую из моментов сил сопротивления и моментов электромагнитных сил, действующих на роторы вибраторов:
Уравнения движения

где CΩi — коэффициенты сопротивления; Li(Ωi, Ωi') — моменты электромагнитных сил, действующие на роторы.
Выполняя операции дифференцирования функции Лагранжа (2.7) и учитывая выражения (2.12) и (2.13), получаем систему 6+k дифференциальных уравнений:
Уравнения движения
Уравнения движения
Уравнения движения
Уравнения движения

Выражения (2.14)-(2.20) представляют собой дифференциальные уравнения, описывающие движение пространственной вибрационной машины с k механическими вибраторами, оси вращения роторов которых могут быть как угодно расположены в пространстве, и упругой подвеской, состоящей из n цилиндрических витых, пружин сжатия-растяжения, оси которых тоже могут быть как угодно расположены в пространстве. Эти уравнения описывают малые вынужденные колебания системы вокруг положения устойчивого равновесия.
Из данных уравнений можно получить уравнения движения колеблющихся частей вибрационных машин как с простым плоскопараллельным движением рабочего органа, так и со сложным пространственным. Для этого необходимо задать координаты точек закрепления пружин, а также направляющие косинусы осей и плоскостей вращения дебалансов. При совмещении начала подвижной системы координат с центром тяжести решетного стана и координатных осей с главными осями инерции эти уравнения несколько упростятся, так как станут равными нулю координаты центра тяжести решетного стана х, у, z, статические моменты масс решетного стана относительно главных центральных осей Sx*, Sy*, Sz*, а также центробежные моменты инерции масс относительно главных центральных осей J*xy, J*xz, J*yz.