Общие сведения о поиске экстремумов функций
Задачи отыскания наибольших (максимальных) или наименьших (минимальных) значений величин (или показателей) называют экстремальными задачами или задачами оптимизации (а если речь идет о наилучшем воздействии на какие-то процессы или явления, которыми человек может в определенной мере управлять, то такие задачи относят к разделу теории экстремальных задач, называемому оптимальными управлениями).
Выражение (или показатель), значение которого исследователь стремится сделать максимальным или минимальным, принято называть целевой функцией. В качестве целевой функции могут использоваться такие показатели, как стоимость, КПД, энергозатраты и т.п. Если целевая функция зависит от одного параметра, то ее можно представить в виде кривой на плоскости; если целевая функция зависит от двух параметров, то ее можно изобразить в виде поверхности в пространстве трех измерений. При трех и более параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. В случае одного параметра речь идет о поиске экстремума функции одной переменной, во всех остальных случаях — о поиске экстремумов функций множества переменных.
Следует отметить, что одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие — для поиска минимума. И тем не менее независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный, и наоборот.
Ограничимся рассмотрением простейших методов поиска экстремумов функций одной переменной, не требующих вычисления производных, К таким методам относятся методы: деления отрезка пополам; дихотомии; золотого сечения; метод Фибоначчи. При использовании этих методов исходят из условия, что исследуемые функции на рассматриваемых отрезках являются унимодальными, т.е. имеют на рассматриваемом (исследуемом) отрезке только одну точку экстремума — точку минимума или максимума.
В основе рассматриваемых методов лежит следующая постановка задачи. Значения переменной X, от которой зависят значения целевой функции (в дальнейшем эту переменную будем называть проектным параметром), должны быть заключены на отрезке [а, b], т.е. а < X < b. Приступая к решению задачи, мы ничего не знаем о целевой функции, кроме того, что она унимодальна. Интервал значений X, в котором заключен оптимум, будем называть интервалом неопределенности. В начале процесса оптимизации этот интервал (рис. 5.1) имеет длину b—а. Вычислив значения целевой функции M1 и M2 при значениях X1 ≥ а и X2 < b, сузим интервал неопределенности (рис. 5.2). Cyществует несколько (указанных выше) способов систематического сужения интервала.