Интерполяционные формулы Ньютона

Интерполяционные формулы Ньютона — формулы вычислительной математики, применяющиеся для полиномиального интерполирования.

Если узлы интерполяции равноотстоящие и упорядочены по величине, так что x i + 1 − x i = h = c o n s t {displaystyle x_{i+1}-x_{i}=h=mathrm {const} } , то есть x i = x 0 + i h {displaystyle x_{i}=x_{0}+ih} , то интерполяционный многочлен можно записать в форме Ньютона.

Интерполяционные полиномы в форме Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится вблизи начала (прямая формула Ньютона) или конца таблицы (обратная формула Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона

В случае равноудалённых центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

P n ( x ) = ∑ m = 0 n C x m ∑ k = 0 m ( − 1 ) m − k C m k f ( k ) {displaystyle P_{n}(x)=sum _{m=0}^{n}C_{x}^{m}sum _{k=0}^{m}(-1)^{m-k},C_{m}^{k},f(k)}

где C x m {displaystyle C_{x}^{m}} — обобщённые на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Прямая интерполяционная формула Ньютона

Прямая (или первая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования вперёд: P n ( x ) = y 0 + q Δ y 0 + q ( q − 1 ) 2 ! Δ 2 y 0 + … + q ( q − 1 ) … ( q − n + 1 ) n ! Δ n y 0 , {displaystyle P_{n}(x)=y_{0}+qDelta y_{0}+{frac {q(q-1)}{2!}}Delta ^{2}y_{0}+ldots +{frac {q(q-1)ldots (q-n+1)}{n!}}Delta ^{n}y_{0},} где q = x − x 0 h , y i = f i {displaystyle q={frac {x-x_{0}}{h}},;y_{i}=f_{i}} , а выражения вида Δ k y 0 {displaystyle Delta ^{k}y_{0}} — конечные разности.

Обратная интерполяционная формула Ньютона

Обратная (или вторая) интерполяционная формула Ньютона, применяется для интерполирования назад: P n ( x ) = y n + q Δ y n − 1 + q ( q + 1 ) 2 ! Δ 2 y n − 2 + … + q ( q + 1 ) … ( q + n − 1 ) n ! Δ n y 0 , {displaystyle P_{n}(x)=y_{n}+qDelta y_{n-1}+{frac {q(q+1)}{2!}}Delta ^{2}y_{n-2}+ldots +{frac {q(q+1)ldots (q+n-1)}{n!}}Delta ^{n}y_{0},} где q = x − x n h {displaystyle q={frac {x-x_{n}}{h}}}