Теорема Ролля

05.11.2021

Теорема Ролля (теорема о нуле производной) утверждает, что

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Геометрический смысл

Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Следствия

Если дифференцируемая функция обращается в ноль в n {displaystyle n} различных точках, то её производная обращается в ноль по крайней мере в n − 1 {displaystyle n-1} различных точках, причем эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.

Если все корни многочлена n-ой степени действительные, то и корни всех его производных до n − 1 {displaystyle n-1} включительно — также исключительно действительные.

Дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: