Гипотеза Даффина — Шаффера

21.10.2021

Гипотеза Даффина — Шаффера — важная гипотеза в теории метрических чисел, предложенная Р. Даффином и А. Шеффером в 1941 году. Она утверждает, что если f : N → R + {displaystyle f:mathbb {N} ightarrow mathbb {R} ^{+}} — вещественная функция, принимающая положительные значения, то почти для всех α {displaystyle alpha } (относительно меры Лебега) неравенство

| α − p q | < f ( q ) q {displaystyle left|alpha -{frac {p}{q}} ight|<{frac {f(q)}{q}}}

имеет бесконечно много решений во взаимно простых числах p , q {displaystyle p,q} ( q > 0 {displaystyle q>0} ) тогда и только тогда, когда

∑ q = 1 ∞ f ( q ) φ ( q ) q = ∞ , {displaystyle sum _{q=1}^{infty }f(q){frac {varphi (q)}{q}}=infty ,}

где φ ( q ) {displaystyle varphi (q)} — функция Эйлера.

Многомерный аналог этой гипотезы был доказан Воганом и Поллингтоном в 1990 году.

История

Из леммы Бореля – Кантелли следует, что если рациональные приближения существуют, то ряд расходится. Обратное утверждение составляет суть данной гипотезы.

Было получено много доказательств частных случаев гипотезы Даффина – Шеффера. В 1970 году Пол Эрдёш установил, что гипотеза верна, если существует константа c > 0 {displaystyle c>0} такая, что для каждого целого числа n {displaystyle n} или f ( n ) = c / n {displaystyle f(n)=c/n} , или f ( n ) = 0 {displaystyle f(n)=0} . В 1978 году Джеффри Ваалером усилил этот результат на случай f ( n ) = O ( n − 1 ) {displaystyle f(n)=O(n^{-1})} . Совсем недавно Хейнс, Поллингтон и Велани еще более усилили результат, гипотеза верна, если существует число ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} , такое что ряд

∑ n = 1 ∞ ( f ( n ) n ) 1 + ε φ ( n ) = ∞ {displaystyle sum _{n=1}^{infty }left({frac {f(n)}{n}} ight)^{1+varepsilon }varphi (n)=infty } .

В 2006 году Бересневич и Велани доказали, что аналог гипотезы Даффина – Шеффера для меры Хаусдорфа эквивалентен исходной гипотезе Даффина – Шеффера, которая априори слабее. Этот результат был опубликован в «Annals of Mathematics».

В июле 2019 года Димитрис Кукулопулос и Джеймс Мейнард объявили доказательство этой гипотезы Даффина — Шаффера.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: