Лемма Нётер о нормализации

01.10.2021

Лемма Нётер о нормализации — результат коммутативной алгебры играющий важную роль в основаниях алгебраической геометрии. Доказанa Эмми Нётер в 1926 году.

Эта лемма используетсяв доказательстве теоремы Гильберта о нулях. Также она является важным инструментом изучения размерности Крулля.

Формулировка

Для любого поля k и любой конечно порожденной коммутативной k -алгебры A существует неотрицательное целое число d и алгебраически независимые элементы y 1, y 2, ..., y d в A такие, что A конечно порожденный модуль над кольцом многочленов S = k[ y 1, y 2, ..., y d ].

Замечания

  • Целое число d определяется однозначно; это размерность Крулля кольца A.
    • В случае если A является областью целостности, то d также является степенью трансцендентности поля частных A над k.

Геометрическая интерпретация

За S можно взять координатное кольцо d-мерного аффинного пространства A k d {displaystyle mathbb {A} _{k}^{d}} , а за A — координатное кольцо некоторого другого d -мерного аффинного многообразия X. Тогда отображение включения S → A {displaystyle S o A} индуцирует сюръективный конечный морфизм аффинных многообразий X → A k d {displaystyle X o mathbb {A} _{k}^{d}} . Вывод состоит в том, что любое аффинное многообразие является разветвленным накрытием аффинного пространства.

Если поле k бесконечно, то такое разветвленное накрытие можно построить, взяв проекцию общего положения из аффинного пространства, содержащего X, на d-мерное подпространство.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: