Дискретная случайная величина

05.09.2021

Дискретная случайная величина — это случайная величина, множество значений которой не более чем счётно (то есть конечно или счётно). Очевидно, значения дискретной случайной величины не содержат какой-либо непрерывный интервал на числовой прямой.

Примеры:

  • Любая случайная величина, принимающая целочисленные значения.
  • Моменты испускания альфа-частиц атомом радиоактивного элемента.

Способы определения

Пусть ξ — дискретная случайная величина, тогда есть несколько способов её определения:

  • Аналитический способ: P ( ξ = x k ) = p k , k ∈ K {displaystyle P(xi =x_{k})=p_{k},kin K} ;
  • Табличный способ: ξ = ( x 1 x 2 . . . x n p 1 p 2 . . . p n ) {displaystyle xi ={egin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&...&x_{n}p_{1}&p_{2}&...&p_{n}end{pmatrix}}} ;
  • С помощью производящей функции вероятностей
ϕ ξ ( z ) = ∑ k = 0 ∞ P ξ ( k ) z k {displaystyle phi _{xi }(z)=sum _{k=0}^{infty }P_{xi }(k)z^{k}} ,

где ξ {displaystyle xi } целочисленная случайная величина, принимающая в зависимости от случайного исхода одно из значений k = 0 , 1 , 2 , . . . {displaystyle k=0,1,2,...} с соответствующими вероятностями P ξ ( k ) {displaystyle P_{xi }(k)} .

Пример задачи, приводящей к данному понятию

Рассмотрим стохастический эксперимент, состоящий в бросании игрального кубика с несмещенным центром масс, на каждой грани которого написано по одному из чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Результатом такого эксперимента будет какое-то число от одного до шести. В силу симметрии кубика у нас нет оснований считать, что какое-либо одно из чисел 1, 2, … , 6 будет выпадать чаще, чем другое, а потому вероятность выпадения каждого из чисел будет 1/6. Запишем соответствующую дискретную случайную величину ξ, характеризующую этот процесс:

  • Аналитический способ: P ( ξ = k ) = 1 6 , k ∈ { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } {displaystyle P(xi =k)={frac {1}{6}},kin {1,2,3,4,5,6}} ;
  • Табличный способ: ξ = ( 1 2 3 4 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 ) {displaystyle xi ={egin{pmatrix}1&2&3&4&5&6{frac {1}{6}}&{frac {1}{6}}&{frac {1}{6}}&{frac {1}{6}}&{frac {1}{6}}&{frac {1}{6}}end{pmatrix}}} .

Примеры распределений дискретных случайных величин

  • Биномиальное распределение
  • Вырожденное распределение
  • Геометрическое распределение
  • Гипергеометрическое распределение
  • Дискретное равномерное распределение
  • Отрицательное биномиальное распределение
  • Распределение Бернулли
  • Распределение Пуассона

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: