Приятельские числа

07.06.2021

Приятельские числа — это два или более натуральных числа с одинаковым индексом избыточности, отношением суммы делителей чисел и самого числа. Два числа с одинаковой избыточностью образуют приятельскую пару, n чисел с одинаковой избыточностью образуют приятельский n-кортеж.

Быть приятелями является отношением эквивалентности, а потому порождает разбиение положительных натуральных чисел на клубы (классы эквивалентности) попарно приятельских чисел.

Число, не входящее в какую-либо приятельскую пару, называется отшельником.

Индекс избыточности числа n — это рациональное число σ ( n ) / n {displaystyle sigma (n)/n} , в котором σ {displaystyle sigma } означает сумму делителей. Число n является приятельским, если существует m ≠ n {displaystyle m eq n} такое, что σ ( m ) / m = σ ( n ) / n {displaystyle sigma (m)/m=sigma (n)/n} . Заметим, что избыточность, это не то же самое, что избыток, который определяется как σ ( n ) − 2 n {displaystyle sigma (n)-2n} .

Избыточность может быть также выражена как σ − 1 ( n ) {displaystyle sigma _{-!1}(n)} , где σ k {displaystyle sigma _{k}} означает функцию делителя с σ k ( n ) {displaystyle sigma _{k}(n)} , равным сумме k-ых степеней делителей n.

Числа от 1 до 5 являются отшельниками. Наименьшее приятельское число — это 6, образующее пару с числом 28 с индексом избыточности σ ( 6 ) / 6 = ( 1 + 2 + 3 + 6 ) / 6 = 2 {displaystyle sigma (6)/6=(1+2+3+6)/6=2} , что равно σ ( 28 ) / 28 = ( 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 ) / 28 = 2 {displaystyle sigma (28)/28=(1+2+4+7+14+28)/28=2} . Общее значение 2 в этом случае целое, что неверно во многих других случаях. Числа с индексом избыточности 2 известны также как совершенные числа. Имеется ряд нерешённых задач, связанных с приятельскими числами.

Вопреки схожести названий, нет никакой связи приятельских чисел и дружественных чисел или компанейских чисел, хотя определения этих чисел тоже используют функцию делителей.

Примеры

В таблице голубые числа доказанно являются приятельскими (последовательность A074902 в OEIS), красные числа доказанно являются отшельниками (последовательность A095739 в OEIS), числа n, взаимно простые с σ ( n ) {displaystyle sigma (n)} (последовательность A014567 в OEIS), здесь не отмечены цветом, хотя они заведомо являются отшельниками. Остальные числа имеют неизвестный статус и выделены жёлтым фоном.

Другой пример — 30 и 140 образуют приятельскую пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковый индекс избыточности:

σ ( 30 ) 30 = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 + 30 30 = 72 30 = 12 5 {displaystyle { frac {sigma (30)}{30}}={ frac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={ frac {72}{30}}={ frac {12}{5}}} σ ( 140 ) 140 = 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 10 + 14 + 20 + 28 + 35 + 70 + 140 140 = 336 140 = 12 5 . {displaystyle { frac {sigma (140)}{140}}={ frac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={ frac {336}{140}}={ frac {12}{5}}.}

Числа 2480, 6200 и 40640 являются членами клуба, так как все три числа имеют индекс избыточности 12/5.

Как пример нечётных приятельских чисел, рассмотрим 135 и 819 (индекс избыточности 16/9). Есть также случаи чётных чисел, приятельских с нечётными, например, 42 и 544635 (индекс 16/7).

Полный квадрат может быть приятельским числом, например, 693479556 (квадрат числа 26334) и число 8640 имеют индекс избыточности 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).

Числа-отшельники

Числа, принадлежащие клубу из одного элемента, поскольку нет других чисел, приятельских с ними, являются отшельниками. Все простые числа являются отшельниками. Более обще, если числа n и σ ( n ) {displaystyle sigma (n)} взаимно просты, то есть наибольший общий делитель этих чисел равен 1, а следовательно, σ ( n ) / n {displaystyle sigma (n)/n} является неприводимой дробью, то число n является отшельником (последовательность A014567 в OEIS). Для простого числа p мы имеем σ ( p ) = p + 1 {displaystyle sigma (p)=p+1} , и это число взаимно просто с p.

Неизвестно никакого метода общего вида, определяющего, является число отшельником или приятельским числом. Наименьшее число, классификация которого неизвестна (на 2009) — число 10. Есть предположение, что оно является отшельником, если это не так, его наименьший друг является довольно большим числом, как у числа 24 — хотя число 24 приятельское, его наименьшим другом является число 91.963.648. Для числа 10 нет приятельского числа, меньшего 2.000.000.000.

Большие клубы

Открытой проблемой является вопрос, существуют ли бесконечно большие клубы или взаимно приятельские числа. Совершенные числа образуют клуб и есть предположение, что существует бесконечно много совершенных чисел (по меньшей мере столько же, сколько чисел Мерсенна), но доказательств нет. К 2018 году известно 50 совершенных чисел и наибольшее из известных чисел имеет более 46 миллионов цифр в десятичной записи. Существуют клубы с более известными членами, в частности клубы, образованные мультисовершенными числами, то есть числами, индекс избыточности которых является целым числом. К началу 2013 года клуб приятельских чисел с индексом 9 насчитывал 2094 членов. Хотя известно, что клубы мультисовершенных чисел довольно большие (за исключением самих совершенных чисел), есть предположение, что эти клубы конечны.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: