Аффинное преобразование

02.05.2021

Аффинное преобразование, иногда афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

Определения

Геометрическое

Биекция евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая параллельные прямые в параллельные прямые, называется аффинным преобразованием.

Алгебраическое

Аффинное преобразование f : R n → R n {displaystyle fcolon mathbb {R} ^{n} o mathbb {R} ^{n}} есть преобразование вида

f ( x ) = M ⋅ x + v , {displaystyle f(x)=Mcdot x+v,}

где M {displaystyle M} — обратимая матрица и v ∈ R n {displaystyle vin mathbb {R} ^{n}} .

Комментарии

  • Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны по так называемой основной теореме аффинной геометрии.
  • Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом:
  • Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат v {displaystyle v} ;
  • Каждой точке x {displaystyle x} пространства поставить в соответствие точку f ( x ) {displaystyle f(x)} , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и x {displaystyle x} в «старой».

Примеры

Примерами аффинных преобразований являются

  • движения;
  • растяжения;
  • преобразования подобия.

Свойства

  • При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
    • Если размерность пространства n ⩾ 2 {displaystyle {n}geqslant 2} , то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
  • Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
  • Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований

  • Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина).
  • Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование f ( x ) = M ⋅ x + v {displaystyle f(x)=Mcdot x+v} можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

( f ( x ) 1 ) = ( M v 0 1 ) ( x 1 ) {displaystyle {egin{pmatrix}f(x)1end{pmatrix}}={egin{pmatrix}M&v&1end{pmatrix}}{egin{pmatrix}x1end{pmatrix}}}

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована.

Вариации и обобщения

  • В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } .
  • Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
  • Аффинные преобразования пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} можно представить как аффинные преобразования пространства R n + 1 {displaystyle mathbb {R} ^{n+1}} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: