Обратная матрица
Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
A A − 1 = A − 1 A = E . {displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E.}Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
Свойства обратной матрицы
- det A − 1 = 1 det A {displaystyle det A^{-1}={frac {1}{det A}}} , где det {displaystyle det } обозначает определитель.
- ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 {displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} для двух квадратных обратимых матриц A {displaystyle A} и B {displaystyle B} .
- ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}} , где ( . . . ) T {displaystyle (...)^{T}} обозначает транспонированную матрицу.
- ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 {displaystyle (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}} для любого коэффициента k ≠ 0 {displaystyle k ot =0} .
- E − 1 = E {displaystyle E^{-1}=E} .
- Если необходимо решить систему линейных уравнений A x = b {displaystyle Ax=b} , (b — ненулевой вектор) где x {displaystyle x} — искомый вектор, и если A − 1 {displaystyle A^{-1}} существует, то x = A − 1 b {displaystyle x=A^{-1}b} . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.
Способы нахождения обратной матрицы
Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:
Точные (прямые) методы
Метод Жордана—Гаусса
Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A−1.
При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ i {displaystyle Lambda _{i}} (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):
Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 . {displaystyle Lambda _{1}cdot dots cdot Lambda _{n}cdot A=Lambda A=ERightarrow Lambda =A^{-1}.} Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] . {displaystyle Lambda _{m}={egin{bmatrix}1&dots &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&dots &0&&&dots &&&