Дифференциальное тождество Бьянки

11.03.2021

Тензор Римана удовлетворяет следующему тождеству:

( 1 ) ∇ i R r j k s + ∇ j R r k i s + ∇ k R r i j s = 0 {displaystyle (1)qquad abla _{i}R_{;rjk}^{s}+ abla _{j}R_{;rki}^{s}+ abla _{k}R_{;rij}^{s}=0}

которое называется дифференциальным тождеством Бьянки или вторым тождеством Бьянки в дифференциальной геометрии.

Доказательство с использованием специальной системы координат

Выберем на многообразии какую-то одну произвольную точку P {displaystyle P} и докажем равенство (1) в этой точке. Поскольку точка P {displaystyle P} произвольная, то отсюда будет следовать справедливость тождества (1) на всем многообразии.

В точке P {displaystyle P} мы можем выбрать такую специальную систему координат, что все символы Кристоффеля (но не их производные) превращаются в ноль в точке P {displaystyle P} . Тогда для ковариантных производных в точке P {displaystyle P} имеем:

( 2 ) ∇ i R r j k s = ∂ i R r j k s {displaystyle (2)qquad abla _{i}R_{;rjk}^{s}=partial _{i}R_{;rjk}^{s}}

Поскольку

( 3 ) R r j k s = ∂ j Γ k r s − ∂ k Γ j r s + Γ j p s Γ k r p − Γ k p s Γ j r p {displaystyle (3)qquad R_{;rjk}^{s}=partial _{j}Gamma _{kr}^{s}-partial _{k}Gamma _{jr}^{s}+Gamma _{jp}^{s}Gamma _{kr}^{p}-Gamma _{kp}^{s}Gamma _{jr}^{p}}

то в точке P {displaystyle P} имеем:

( 4 ) ∇ i R r j k s = ∂ i ∂ j Γ k r s − ∂ i ∂ k Γ j r s {displaystyle (4)qquad abla _{i}R_{;rjk}^{s}=partial _{i}partial _{j}Gamma _{kr}^{s}-partial _{i}partial _{k}Gamma _{jr}^{s}}

Циклически переставляя в (4) индексы i j k {displaystyle ijk} получим еще две равенства:

( 5 ) ∇ j R r k i s = ∂ j ∂ k Γ i r s − ∂ j ∂ i Γ k r s {displaystyle (5)qquad abla _{j}R_{;rki}^{s}=partial _{j}partial _{k}Gamma _{ir}^{s}-partial _{j}partial _{i}Gamma _{kr}^{s}} ( 6 ) ∇ k R r i j s = ∂ k ∂ i Γ j r s − ∂ k ∂ j Γ i r s {displaystyle (6)qquad abla _{k}R_{;rij}^{s}=partial _{k}partial _{i}Gamma _{jr}^{s}-partial _{k}partial _{j}Gamma _{ir}^{s}}

Легко видеть, что при добавлении равенств (4), (5) и (6) в левой части уравнения будет выражение (1), а в правой, учтя коммутативность частных производных, все слагаемые взаимно уничтожаются и мы получим ноль.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: