Знакочередующийся ряд

07.03.2021

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 b n , b n > 0 {displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}=sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n-1},b_{n},;b_{n}>0} .

Признак Лейбница

Формулировка

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть дан знакочередующийся ряд

S = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 b n ,   b n ≥ 0 {displaystyle S=sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n-1}b_{n}, b_{n}geq 0} ,

для которого выполняются следующие условия:

  • b n ≥ b n + 1 {displaystyle b_{n}geq b_{n+1}} , начиная с некоторого номера ( n ≥ N {displaystyle ngeq N} ),
  • lim n → ∞ b n = 0. {displaystyle lim _{n o infty }b_{n}=0.}
  • Тогда такой ряд сходится.

    Замечания

    Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Такие ряды могут сходиться абсолютно (если сходится ряд ∑ n = 1 ∞ b n {displaystyle sum _{n=1}^{infty }b_{n}} ), а могут сходиться условно (если ряд из модулей расходится).

    Монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как lim n → ∞ b n = 0 {displaystyle lim _{n o infty }b_{n}=0} — необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд ∑ n = 2 ∞ ( − 1 ) n n + ( − 1 ) n {displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}} сходится). С другой стороны, монотонное убывание существенно для применения признака Лейбница; если оно отсутствует, то ряд может расходиться даже несмотря на то, что второе условие признака Лейбница выполнено. Пример расходящегося знакочередующегося ряда с немонотонным убыванием членов:

    1 1 − 1 2 + 1 2 − 1 4 + 1 3 − 1 6 + ⋯ + 1 n − 1 2 n + … {displaystyle {frac {1}{1}}-{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}-{frac {1}{4}}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{6}}+dots +{frac {1}{n}}-{frac {1}{2n}}+dots }

    Удвоенные частичные суммы этого ряда совпадают с частичными суммами гармонического ряда и поэтому неограниченно растут.

    Доказательство

    Доказательство

    Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда R n = b 1 − b 2 + … − b 2 n {displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+ldots -b_{2n}} и L n = b 1 − b 2 + … + b 2 n + 1 {displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+ldots +b_{2n+1}} .

    Первая последовательность не убывает: R n − R n + 1 = b 2 n + 2 − b 2 n + 1 ≤ 0 {displaystyle R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}leq 0} по первому условию.

    По тому же условию вторая последовательность не возрастает: L n − L n + 1 = b 2 n + 2 − b 2 n + 3 ≥ 0 {displaystyle L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}geq 0} .

    Вторая последовательность мажорирует первую, то есть L n ≥ R m {displaystyle L_{n}geq R_{m}} для любых m , n ∈ N {displaystyle m,nin mathbb {N} } . Действительно,

    при m ≥ n {displaystyle mgeq n} имеем: L n − R m ≥ L m − R m = b 2 m + 1 > 0 , {displaystyle L_{n}-R_{m}geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,} при m ≤ n {displaystyle mleq n} имеем: L n − R m ≥ L n − R n = b 2 n + 1 > 0. {displaystyle L_{n}-R_{m}geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.}

    Следовательно они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.

    Осталось заметить, что: lim m , n | R n − L m | = 0 {displaystyle lim _{m,n}|R_{n}-L_{m}|=0} , поэтому они сходятся к общему пределу S {displaystyle S} , который и является суммой исходного ряда.

    Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда S n {displaystyle S_{n}} имеет место оценка | S − S n | < b n + 1 {displaystyle |S-S_{n}|<b_{n+1}} .

    Пример

    ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 1 n {displaystyle sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n+1}{frac {1}{n}};} . Ряд из модулей имеет вид ∑ n = 1 ∞ 1 n {displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}} — это гармонический ряд, который расходится.

    Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

  • знакочередование выполнено
  • 1 n + 1 < 1 n , ∀ n {displaystyle {frac {1}{n+1}}<{frac {1}{n}},;forall ;n}
  • lim n → ∞ 1 n = 0 {displaystyle lim _{n o infty },{frac {1}{n}}=0} .
  • Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).

    Оценка остатка ряда Лейбница

    Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):

    S n = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i b i . {displaystyle S_{n}=sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}b_{i}.}

    Остаток сходящегося знакочередующегося ряда R n = S − S n {displaystyle R_{n}=S-S_{n}} будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

    | R n | < b n + 1 . {displaystyle left|R_{n} ight|<b_{n+1}.} Доказательство

    Последовательность S 2 k {displaystyle S_{2k}} монотонно возрастающая, так как S 2 k = ∑ i = 2 i = n ( b 2 i − 1 − b 2 i ) , {displaystyle S_{2k}=sum limits _{i=2}^{i=n}{left({b_{2i-1}-b_{2i}} ight)},} а выражение b 2 i − 1 − b 2 i {displaystyle b_{2i-1}-b_{2i}} неотрицательно при любом целом i . {displaystyle i.} Последовательность S 2 k − 1 {displaystyle S_{2k-1}} монотонно убывает, так как S 2 k + 1 = S 2 k − 1 − ( b 2 k − b 2 k + 1 ) , {displaystyle S_{2k+1}=S_{2k-1}-left({b_{2k}-b_{2k+1}} ight),} а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — S 2 k {displaystyle S_{2k}} и S 2 k − 1 {displaystyle S_{2k-1}} — совпадающий предел при k → + ∞ . {displaystyle k o +infty .} Так получено S 2 k ⩽ s ⩽ S 2 k − 1 {displaystyle S_{2k}leqslant sleqslant S_{2k-1}} и также s ⩽ S 2 k + 1 . {displaystyle sleqslant S_{2k+1}.} Отсюда 0 ⩽ s − S 2 k ⩽ S 2 k + 1 − S 2 k = b 2 k + 1 {displaystyle 0leqslant s-S_{2k}leqslant S_{2k+1}-S_{2k}=b_{2k+1}} и 0 ⩽ S 2 k − 1 − s ⩽ S 2 k − 1 − S 2 k = b 2 k . {displaystyle 0leqslant S_{2k-1}-sleqslant S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}.} Итак, для любого k {displaystyle k} выполняется | s − S k | ⩽ b k + 1 , {displaystyle left|{s-S_{k}} ight|leqslant b_{k+1},} что и требовалось доказать.

    Знакопеременный ряд

    Знакочередующиеся ряды также иногда называют знакопеременными, однако этот термин может также означать любые ряды, имеющие одновременно бесконечное число положительных и отрицательных членов.


    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: