Матрица Коши (линейная алгебра)

07.01.2021

В математике матрица Коши (названа в честь Огюстена Луи Коши) — это матрица размера m × n с элементами вида

a i j = 1 x i − y j ; x i − y j ≠ 0 , 1 ⩽ i ≤ m , 1 ⩽ j ≤ n , {displaystyle a_{ij}={frac {1}{x_{i}-y_{j}}};quad x_{i}-y_{j} eq 0,quad 1leqslant ileq m,quad 1leqslant jleq n,}

где x i {displaystyle x_{i}} и y j {displaystyle y_{j}} являются элементами поля F {displaystyle {mathcal {F}}} , а последовательности ( x i ) {displaystyle (x_{i})} и ( y j ) {displaystyle (y_{j})} таких элементов являются инъективными (не содержат повторяющихся элементов).

Матрица Гильберта является частным случаем матрицы Коши при

x i − y j = i + j − 1. {displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.}

Каждая подматрица (матрица, получающаяся вычёркиванием определённой строки и столбца) матрицы Коши также является матрицей Коши.

Определители Коши

Определитель квадратной матрицы Коши является заведомо рациональной функцией параметров ( x i ) {displaystyle (x_{i})} и ( y j ) {displaystyle (y_{j})} . Если эти последовательности не инъективны, то определитель равен нулю. Если некоторые x i {displaystyle x_{i}} стремятся к y j {displaystyle y_{j}} , то определитель стремится к бесконечности. Таким образом, часть множества нулей и полюсов определителя Коши заранее известна. На самом деле других нулей и полюсов нет.

Явный вид определителя квадратной матрицы Коши A, называемый просто определитель Коши:

det A = ∏ i = 2 n ∏ j = 1 i − 1 ( x i − x j ) ( y j − y i ) ∏ i = 1 n ∏ j = 1 n ( x i − y j ) {displaystyle det mathbf {A} ={{prod _{i=2}^{n}prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} over {prod _{i=1}^{n}prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}     (Schechter 1959, eqn 4).

Он всегда не равен нулю, таким образом, матрицы Коши являются обратимыми. Обратная матрица A−1 = B = [bij] имеет вид:

b i j = ( x j − y i ) A j ( y i ) B i ( x j ) {displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})}     (Schechter 1959, Theorem 1)

где Ai(x) и Bi(x) — многочлены Лагранжа для последовательностей ( x i ) {displaystyle (x_{i})} и ( y j ) {displaystyle (y_{j})} , соответственно. То есть

A i ( x ) = A ( x ) A ′ ( x i ) ( x − x i ) {displaystyle A_{i}(x)={frac {A(x)}{A^{prime }(x_{i})(x-x_{i})}}} и B i ( x ) = B ( x ) B ′ ( y i ) ( x − y i ) , {displaystyle quad B_{i}(x)={frac {B(x)}{B^{prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}

где

A ( x ) = ∏ i = 1 n ( x − x i ) {displaystyle A(x)=prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})} и B ( x ) = ∏ i = 1 n ( x − y i ) . {displaystyle quad B(x)=prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}

Обобщение

Матрица C называется матрицей типа Коши, если она имеет вид

C i j = r i s j x i − y j . {displaystyle C_{ij}={frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}

Обозначив X=diag(xi), Y=diag(yi), получим, что матрицы типа Коши (в частности, просто матрицы Коши) удовлетворяют смещённому уравнению:

X C − C Y = r s T {displaystyle mathbf {XC} -mathbf {CY} =rs^{mathrm {T} }}

(в случае матриц Коши r = s = ( 1 , 1 , … , 1 ) {displaystyle r=s=(1,1,ldots ,1)} ). Следовательно, матрицы типа Коши имеют общую смещённую структуру, что может быть использовано при работе с такими матрицами. Например, известны алгоритмы для

  • приближённого умножения матрицы Коши на вектор за O ( n log ⁡ n ) {displaystyle O(nlog n)} операций,
  • LU-разложение за O ( n 2 ) {displaystyle O(n^{2})} операций (алгоритм GKO), и соответствующий алгоритм решения систем линейных уравнений с такими матрицами,
  • неустойчивые алгоритмы для решения систем линейных уравнений за O ( n log 2 ⁡ n ) {displaystyle O(nlog ^{2}n)} операций.

Через n {displaystyle n} обозначен размер матрицы (обычно имеют дело с квадратными матрицами, хотя все вышеприведённые алгоритмы легко могут быть обобщены на прямоугольные матрицы).


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: