Неотрицательная матрица

01.01.2021

В математике неотрицательная матрица — это матрица, элементы которой больше или равны нулю:

X ≥ 0 , ∀ i , j x i j ≥ 0. {displaystyle mathbf {X} geq 0,qquad forall i,j,x_{ij}geq 0.}

Положительная матрица — это матрица, элементы которой строго больше нуля:

X > 0 , ∀ i , j x i j > 0. {displaystyle mathbf {X} >0,qquad forall i,j,x_{ij}>0.}

Любая стохастическая матрица (матрица переходных вероятностей для цепи Маркова) является неотрицательной.

Положительную матрицу не стоит путать с положительно определённой матрицей.

Матрица, которая одновременно является неотрицательной и неотрицательно определённой, называют вдвойне неотрицательной матрицей.

Собственные значения и собственные вектора квадратной положительной матрицы описываются теоремой Фробениуса-Перрона.

Обратные матрицы

Матрица, обратная любой невырожденной M-матрице, является неотрицательной матрицей. Если невырожденная M-матрица является симметричной, то полученная обратная матрица называется матрицей Стильтьеса.

Неотрицательная матрица имеет неотрицательную обратную тогда и только тогда, когда она является неотрицательной мономиальной матрицей.

Применение

Неотрицательные матрицы возникают при изучении стохастических, бистохастических матриц, а также участвуют в формулировке ряда теорем.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: