Точная последовательность Эйлера

19.12.2020

Точная последовательность Эйлера — это определённая точная последовательность пучков на n-мерном проективном пространстве над кольцом. Она показывает, что кокасательное расслоение проективного пространства стабильно изоморфно (n + 1)-кратной сумме тавтологических расслоений O ( − 1 ) {displaystyle {mathcal {O}}(-1)} (см. скручивающий пучок Серра).

Формулировка

Для коммутативного кольца A существует точная последовательность пучков

0 → Ω P A n / A 1 → O P A n ( − 1 ) ⊕ n + 1 → O P A n → 0. {displaystyle 0 o Omega _{mathbb {P} _{A}^{n}/A}^{1} o {mathcal {O}}_{mathbb {P} _{A}^{n}}(-1)^{oplus n+1} o {mathcal {O}}_{mathbb {P} _{A}^{n}} o 0.}

Для доказательства достаточно определить гомоморфизм S ( − 1 ) ⊕ n + 1 → S , e i ↦ x i {displaystyle S(-1)^{oplus n+1} o S,e_{i}mapsto x_{i}} , где S = A [ x 0 , … , x n ] {displaystyle S=A[x_{0},ldots ,x_{n}]} и e i = 1 {displaystyle e_{i}=1} в степени 1, сюръективный в степенях ≥ 1 {displaystyle geq 1} и проверить, что локально на (n + 1)-й стандартных аффинных картах его ядро изоморфно модулю относительных дифференциалов.

Геометрическая интерпретация

Мы предполагаем, что кольцо A является полем k.

Точная последовательность выше эквивалентна последовательности

0 → O P n → O ( 1 ) ⊕ ( n + 1 ) → T P n → 0 {displaystyle 0 o {mathcal {O}}_{mathbb {P} ^{n}} o {mathcal {O}}(1)^{oplus (n+1)} o {mathcal {T}}_{mathbb {P} ^{n}} o 0} ,

где последний ненулевой член — это касательный пучок.

Рассмотрим V — (n + 1)-мерное векторное пространство над k и объясним точную последовательность

0 → O P ( V ) → O P ( V ) ( 1 ) ⊗ V → T P ( V ) → 0 {displaystyle 0 o {mathcal {O}}_{mathbb {P} (V)} o {mathcal {O}}_{mathbb {P} (V)}(1)otimes V o {mathcal {T}}_{mathbb {P} (V)} o 0}

Эту последовательность легче всего понимать, интерпретируя средний член как пучок 1-однородных векторных полей на векторном пространстве V. Существует замечательное сечение этого пучка — эйлерово векторное поле — тавтологически определяемое путём сопоставления точке векторного пространства соответствующего этой точке вектора, перенесённого в касательное пространство в этой точке.

Это векторное поле радиально в том смысле, что оно зануляется на 0-однородных функциях, то есть функциях, инвариантных относительно гомотетии с центром в нуле.

Функция (определённая на некотором открытом множестве) на P ( V ) {displaystyle mathbb {P} (V)} индуцирует 0-однородную функцию на V (вновь частично определённую). Мы получаем 1-однородные векторные поля, умножая эйлерово векторное поле на такие функции. Это определяет первое отображение.

Второе отображение связано с понятием дифференцирований, эквивалентным понятию векторных полей. Напомним, что векторное поле на открытом подмножестве U проективного пространства P ( V ) {displaystyle mathbb {P} (V)} может быть определено как дифференцирование функций, определённых на этом открытом множестве. Рассматривая прообраз в V, это эквивалентно дифференцированию на прообразе U, сохраняющему 0-однородные функции. Любое векторное поле на P ( V ) {displaystyle mathbb {P} (V)} может быть получено таким образом, и ядро полученного отображения состоит в точности из радиальных векторных полей.

Каноническое линейное расслоение проективного пространства

Переходя к старшим внешним степеням, находим, что канонический пучок проективного пространства имеет вид

ω P A n / A ≅ O P A n ( − ( n + 1 ) ) {displaystyle omega _{mathbb {P} _{A}^{n}/A}cong {mathcal {O}}_{mathbb {P} _{A}^{n}}(-(n+1))} .

В частности, проективные пространства являются многообразиями Фано, так как каноническое линейное расслоение анти-обильно.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: