Модуль непрерывности

19.12.2020

Для любой функции f {displaystyle f} , определённой на множестве E {displaystyle E} , можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого ω f ( δ ) {displaystyle omega _{f}(delta )} . Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

ω f ( δ ) = sup { | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | : ( x 1 , x 2 ∈ E ) ∧ | x 1 − x 2 | < δ } , {displaystyle omega _{f}(delta )=sup{|f(x_{1})-f(x_{2})|colon (x_{1},;x_{2}in E)land |x_{1}-x_{2}|<delta },}

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из E {displaystyle E} длиной меньше δ {displaystyle delta } . Также в литературе встречаются другие обозначения: ω ( f , δ ) {displaystyle omega (f,;delta )} и (реже) ω ( δ , f ) {displaystyle omega (delta ,;f)} .

Свойства модуля непрерывности

Введённая функция обладает рядом интересных свойств.

  • При любом δ {displaystyle delta } она неотрицательна.
  • Функция не убывает.
  • Функция полуаддитивна, если E {displaystyle E} выпукло: ω f ( δ 1 + δ 2 ) ⩽ ω f ( δ 1 ) + ω f ( δ 2 ) . {displaystyle omega _{f}(delta _{1}+delta _{2})leqslant omega _{f}(delta _{1})+omega _{f}(delta _{2}).}
  • По определению в точке 0 модуль непрерывности равен 0: ω f ( 0 ) = d e f 0. {displaystyle omega _{f}(0){stackrel {mathrm {def} }{=}}0.}
  • Теорема о равномерной непрерывности может быть сформулирована следующим образом. Если функция f {displaystyle f} определена на отрезке [ a , b ] {displaystyle [a,;b]} и непрерывна на нём, то lim δ → 0 + ω f ( δ ) = 0 {displaystyle lim _{delta o 0+}{omega _{f}(delta )}=0} , и наоборот. Данный предел обозначается также ω f ( 0 + ) {displaystyle omega _{f}(0+)} .
  • Если f ( x ) {displaystyle f(x)} непрерывна на [ a , b ] {displaystyle [a,;b]} , то её модуль непрерывности также непрерывная функция на отрезке [ 0 , b − a ] {displaystyle [0,;b-a]} .

Связанные понятия

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

  • принадлежность классам Липшица и Гёльдера;
  • гладкость;
  • дифференцируемость;
  • возможности эффективного приближения функции полиномами (неравенство Джексона — Стечкина)
  • и многих других.

Вариации и обобщения

Модули непрерывности высших порядков

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции f {displaystyle f} .

ω f ( δ ) = sup { | Δ h 1 ( f , x ) | : ( x ∈ E ) ∧ | h | < δ } . {displaystyle omega _{f}(delta )=sup{|Delta _{h}^{1}(f,;x)|colon (xin E)land |h|<delta }.}

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка n {displaystyle n} , то получим определение модуля непрерывности порядка n {displaystyle n} . Обычное обозначение для таких модулей — ω n ( f , δ ) {displaystyle omega _{n}(f,;delta )} .

Свойства

  • Если k {displaystyle k} — целое число, то ω n ( f , k δ ) ⩽ k n ω n ( f , δ ) . {displaystyle omega _{n}(f,;kdelta )leqslant k^{n}omega _{n}(f,;delta ).}

Неклассические модули непрерывности

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: