Регулярное локальное кольцо

18.12.2020

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка x {displaystyle x} алгебраического многообразия X {displaystyle X} является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо O X , x {displaystyle {mathcal {O}}_{X,x}} ростков рациональных функций в точке x {displaystyle x} регулярно.

Эквивалентные определения

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если A {displaystyle A} — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом m {displaystyle {mathfrak {m}}} , следующие определения эквивалентны:

  • Пусть m = ( a 1 , … , a n ) {displaystyle {mathfrak {m}}=(a_{1},ldots ,a_{n})} где n {displaystyle n} выбрано настолько малым, насколько это возможно (в любом случае, n не может быть меньше размерности Крулля). A {displaystyle A} регулярно, если
dim  A = n . {displaystyle {mbox{dim }}A=n.}
  • Пусть k = A / m {displaystyle k=A/{mathfrak {m}}} — поле вычетов кольца A {displaystyle A} . Тогда A {displaystyle A} регулярно, если
dim k ⁡ m / m 2 = dim ⁡ A {displaystyle dim _{k}{mathfrak {m}}/{mathfrak {m}}^{2}=dim A} , Здесь первая размерность — размерность векторного пространства, а вторая — размерность Крулля.
  • Пусть gl dim  A {displaystyle {mbox{gl dim }}A} — глобальная размерность A {displaystyle A} (то есть супремум проективных размерностей всех A {displaystyle A} -модулей.) Тогда A {displaystyle A} регулярно, если
gl dim  A < ∞ {displaystyle {mbox{gl dim }}A<infty } , в этом случае gl dim  A {displaystyle {mbox{gl dim }}A} всегда совпадает с размерностью Крулля.

Примеры

  • Любое поле — регулярное локальное кольцо. На самом деле, поля — это в точности регулярные локальные кольца размерности 0.
  • Регулярные локальные кольца размерности 1 — это в точности кольца дискретного нормирования. В частности, кольцо формальных степенных рядов k [ [ x ] ] {displaystyle k[[x]]} (k — произвольное поле) является регулярным локальным кольцом. Другой пример — кольцо p-адических чисел.
  • Более общо, кольцо формальных степенных рядов k [ [ x 1 , x 2 , ⋯ , x d ] ] {displaystyle k[[x_{1},x_{2},cdots ,x_{d}]]} — регулярное локальное кольцо размерности d.
  • Если A — регулярное кольцо (см. определение ниже), то кольцо многочленов A [ x ] {displaystyle A[x]} и кольцо формальных степенных рядов A [ [ x ] ] {displaystyle A[[x]]} регулярны.
  • Любая локализация регулярного кольца регулярна. Например, Z [ x ] ( 2 , x ) {displaystyle mathbb {Z} [x]_{(2,x)}} — двумерное регулярное кольцо, не содержащее никакого поля.
  • Пополнение регулярного кольца регулярно.

Свойства

Теорема Аусландера — Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо факториально.

Если ( A , m ) {displaystyle (A,{mathfrak {m}})} — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

A ≅ k [ [ x 1 , … , x d ] ] {displaystyle Acong k[[x_{1},ldots ,x_{d}]]} ,

где k = A / m {displaystyle k=A/{mathfrak {m}}} , а d {displaystyle d} — размерность Крулля.

Происхождение основных определений

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году, однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского, который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f1,…,fm. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂fi/∂xj)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.

Многие свойства локальных колец оставались недоказанными до того времени, когда появились соответствующие техники гомологической алгебры. Жан-Пьер Серр нашёл описание регулярных локальных колец в гомологических терминах: локальное кольцо A регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность. Нетрудно доказать, что свойство конечности глобальной размерности остаётся неизменным при локализации. Это позволяет определить регулярность для всех колец, не обязательно локальных: кольцо A называется регулярным, если его локализация по произвольному простому идеалу — регулярное локальное кольцо. Это эквивалентно утверждению, что A имеет конечную глобальную размерность. В частности, все дедекиндовы кольца регулярны.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: