Проективный объект

18.12.2020

Проективный объект — теоретико-категорное обобщение понятия проективного модуля.

Проективные объекты в абелевых категориях широко используются в гомологической алгебре. Двойственными объектами к проективным являются инъективные объекты.

Определение

Объект P {displaystyle P} в категории C {displaystyle {mathcal {C}}} называется проективным если для произвольного эпиморфизма e : E ↠ X {displaystyle ecolon E woheadrightarrow X} и морфизма f : P → X {displaystyle fcolon P o X} существует морфизм f ¯ : P → E {displaystyle {overline {f}}:P o E} для которого e ∘ f ¯ = f {displaystyle ecirc {overline {f}}=f} , то есть диаграмма:

коммутативна.

Свойства

  • В локально малой категории C {displaystyle {mathcal {C}}} , объект P {displaystyle P} является проективным только если функтор Hom ⁡ ( P , − ) : C → S e t {displaystyle operatorname {Hom} (P,-)colon {mathcal {C}} o mathbf {Set} }
сохраняет эпиморфизмы.
  • Пусть C {displaystyle {mathcal {C}}} — локально малая абелева категория. В этом случае объект P ∈ C {displaystyle Pin {mathcal {C}}} является проективным объектом если Hom ⁡ ( P , − ) : C → A b {displaystyle operatorname {Hom} (P,-)colon {mathcal {C}} o mathbf {Ab} }
является точным функтором, где A b {displaystyle mathbf {Ab} } является категорией абелевых групп.
  • Копроизведение двух проективных объектов является проективным объектом.
  • Ретракт проективного объекта является проективным.

Примеры

  • Утверждение о том, что все множества является проективными объектами эквивалентен аксиоме выбора.
  • Проективный объектами в категории абелевых групп являются свободные абелевы группы.
  • Пусть R {displaystyle R} — кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию M R {displaystyle {mathcal {M}}_{R}} левых R {displaystyle R} -модулей. Проективными объектами в M R {displaystyle {mathcal {M}}_{R}} являются проективные левые R-модули. В частности R {displaystyle R} является проективным объектом в M R . {displaystyle {mathcal {M}}_{R}.}

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: