Характеристика (алгебра)

17.12.2020

Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих алгебраических структур.

Определение

Пусть R {displaystyle R} — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное число n {displaystyle n} , что для каждого элемента r ∈ R {displaystyle rin R} выполняется равенство

n ⋅ r = r + ⋯ + r ⏟ n = 0 {displaystyle ncdot r=underbrace {r+cdots +r} _{n}=0} ,

то наименьшее из таких чисел n {displaystyle n} называется характеристикой кольца R {displaystyle R} и обозначается символом c h a r ⁡ R {displaystyle mathop {mathrm {char} } R} . При этом кольцо R {displaystyle R} называется кольцом положительной характеристики c h a r ⁡ R {displaystyle mathop {mathrm {char} } R} .

Если же таких чисел n {displaystyle n} не существует, то полагают c h a r ⁡ R = 0 {displaystyle mathop {mathrm {char} } R=0} и называют R {displaystyle R} кольцом характеристики нуль.

При наличии единицы в кольце R {displaystyle R} , определение несколько упрощается. В этом случае характеристику обычно определяют как наименьшее ненулевое натуральное число n , {displaystyle n,} такое что n ⋅ 1 = 0 , {displaystyle ncdot 1=0,} если же такого n {displaystyle n} не существует, то характеристика равна нулю.

Примеры

  • Характеристики кольца целых чисел Z {displaystyle mathbb {Z} } , поля рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } , поля вещественных чисел R {displaystyle mathbb {R} } , поля комплексных чисел C {displaystyle mathbb {C} } равны нулю.
  • Характеристика кольца вычетов Z / n Z {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } равна n {displaystyle n} .
  • Характеристика конечного поля F p m {displaystyle mathbb {F} _{p^{m}}} , где p {displaystyle p} — простое число, m {displaystyle m} — положительное целое, равна p {displaystyle p} .

Свойства

  • Тривиальное кольцо с единственным элементом 0 = 1 {displaystyle 0=1} — единственное кольцо с характеристикой 1 {displaystyle 1} .
  • Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику n {displaystyle n} , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля K {displaystyle K} есть либо 0 {displaystyle 0} , либо простое число p {displaystyle p} . В первом случае поле K {displaystyle K} содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел Q {displaystyle mathbb {Q} } , во втором случае поле K {displaystyle K} содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в K {displaystyle K} ).
  • Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} и алгебраическое замыкание поля F p {displaystyle mathbb {F} _{p}} .
  • Если R {displaystyle R} — коммутативное кольцо простой характеристики p {displaystyle p} , то ( a + b ) p n = a p n + b p n {displaystyle (a+b)^{p^{n}}=a^{p^{n}}+b^{p^{n}}} для всех a , b ∈ R {displaystyle a,bin R} , n ∈ N {displaystyle nin mathbb {N} } . Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: