Последовательность Люка

15.12.2020

В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка.

Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей { U n ( P , Q ) } {displaystyle {U_{n}(P,Q)}} и { V n ( P , Q ) } {displaystyle {V_{n}(P,Q)}} , удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами P и Q:

U 0 ( P , Q ) = 0 , U 1 ( P , Q ) = 1 , U n + 2 ( P , Q ) = P ⋅ U n + 1 ( P , Q ) − Q ⋅ U n ( P , Q ) , n ≥ 0 {displaystyle U_{0}(P,Q)=0,quad U_{1}(P,Q)=1,quad U_{n+2}(P,Q)=Pcdot U_{n+1}(P,Q)-Qcdot U_{n}(P,Q),,ngeq 0} V 0 ( P , Q ) = 2 , V 1 ( P , Q ) = P , V n + 2 ( P , Q ) = P ⋅ V n + 1 ( P , Q ) − Q ⋅ V n ( P , Q ) , n ≥ 0 {displaystyle V_{0}(P,Q)=2,quad V_{1}(P,Q)=P,quad V_{n+2}(P,Q)=Pcdot V_{n+1}(P,Q)-Qcdot V_{n}(P,Q),,ngeq 0}

Примеры

Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:

• { U n ( 1 , − 1 ) } {displaystyle {U_{n}(1,-1)}} — числа Фибоначчи
• { V n ( 1 , − 1 ) } {displaystyle {V_{n}(1,-1)}} — числа Люка
• { U n ( 2 , − 1 ) } {displaystyle {U_{n}(2,-1)}} — числа Пелля
• { V n ( 2 , − 1 ) } {displaystyle {V_{n}(2,-1)}} — числа Пелля—Люка
• { U n ( 3 , 2 ) } {displaystyle {U_{n}(3,2)}} — числа Мерсенна
• { V 2 n ( 3 , 2 ) } {displaystyle {V_{2^{n}}(3,2)}} — числа Ферма
• { U n ( 1 , − 2 ) } {displaystyle {U_{n}(1,-2)}} — числа Якобшталя
• { U n ( 2 x , 1 ) } {displaystyle {U_{n}(2x,1)}} — многочлены Чебышёва второго рода
• { V n ( 2 x , 1 ) } {displaystyle {V_{n}(2x,1)}} — многочлены Чебышёва первого рода умноженные на 2

Явные формулы

Характеристическим многочленом последовательностей Люка { U n ( P , Q ) } {displaystyle {U_{n}(P,Q)}} и { V n ( P , Q ) } {displaystyle {V_{n}(P,Q)}} является:

x 2 − P ⋅ x + Q . {displaystyle x^{2}-Pcdot x+Q.}

Его дискриминант D = P 2 − 4 Q {displaystyle D=P^{2}-4Q} предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена

α = P + D 2 {displaystyle alpha ={frac {P+{sqrt {D}}}{2}}} и β = P − D 2 {displaystyle eta ={frac {P-{sqrt {D}}}{2}}}

можно использовать для получения явных формул:

U n ( P , Q ) = α n − β n α − β = α n − β n D {displaystyle U_{n}(P,Q)={frac {alpha ^{n}-eta ^{n}}{alpha -eta }}={frac {alpha ^{n}-eta ^{n}}{sqrt {D}}}}

и

V n ( P , Q ) = α n + β n . {displaystyle V_{n}(P,Q)=alpha ^{n}+eta ^{n}.}

Формулы Виета позволяют также выразить P {displaystyle P} и Q {displaystyle Q} в виде:

P = α + β , {displaystyle P=alpha +eta ,} Q = α ⋅ β . {displaystyle Q=alpha cdot eta .}

Вырожденный случай

Дискриминант D {displaystyle D} обращается в ноль при P = 2 S , Q = S 2 {displaystyle P=2S,Q=S^{2}} для некоторого числа S {displaystyle S} . При этом выполняется α = β = S {displaystyle alpha =eta =S} и соответственно:

U n ( 2 S , S 2 ) = n S n − 1 , {displaystyle U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},} V n ( 2 S , S 2 ) = 2 S n . {displaystyle V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.}

Свойства

D U n = V n + 1 − Q V n − 1 = 2 V n + 1 − P V n {displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}} V n = U n + 1 − Q U n − 1 = 2 U n + 1 − P U n {displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}} U n + m = U n U m + 1 − Q U m U n − 1 = U n V m + U m V n 2 {displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}} V n + m = V n V m − Q m V n − m {displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}} U 2 n = U n V n = U n + 1 2 − Q 2 U n − 1 2 P {displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}={frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P}}} V 2 n = V n 2 − 2 Q n {displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}} U 2 n + 1 = U n + 1 2 − Q U n 2 {displaystyle U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}}