Целая функция

12.12.2020

Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и суперпозиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.

Отметим, что целая функция может иметь особенность (в т.ч. даже существенную особенность) в бесконечности. Как следует из теоремы Лиувилля, функция, которая не имеет особых точек на всей расширенной комплексной плоскости, должна быть постоянной (это свойство может быть использовано для элегантного доказательства основной теоремы алгебры).

Целая функция, имеющая на бесконечности полюс, должна быть многочленом. Таким образом, все целые функции, не являющиеся многочленами (в частности, тождественно постоянными) имеют на бесконечности существенно особую точку. Такие функции называются трансцендентными целыми функциями.

Малая теорема Пикара значительно усиливает теорему Лиувилля: не равная тождественно постоянной целая функция принимает все комплексные значения, кроме, возможно, одного. Примером является экспоненциальная функция, принимающая в качестве значений все комплексные числа, кроме нуля.

Дж. Литлвуд в одной из своих книг указывает сигма-функцию Вейерштрасса в качестве «типичного» примера целой функции.

Случай нескольких комплексных переменных

Целая функция может рассматриваться в C n {displaystyle mathbb {C} ^{n}} . пусть k {displaystyle k} — мультииндекс, z ∈ C n {displaystyle zin mathbb {C} ^{n}}

Понятие сходимости ряда

∑ | k | = 0 ∞ a k z k ( ∗ ) {displaystyle sum _{|k|=0}^{infty }a_{k}z^{k}(*)}

зависит от способа нумерации членов, поэтому говоря о сходимости этого ряда имеется в виду абсолютная сходимость: ∑ | k | = 0 ∞ | a k | | z k | < ∞ {displaystyle sum _{|k|=0}^{infty }|a_{k}||z^{k}|<infty }

Таким образом, если ряд (*) сходится в C n {displaystyle mathbb {C} ^{n}} , то функция, представимая этим рядом, называется целой.

Разложение в бесконечное произведение

Подобно тому, как мероморфные функции могут рассматриваться в качестве обобщения рациональных дробей, целые функции можно рассматривать как обобщение многочленов. В частности, если для мероморфных функций можно обобщить разложение на простейшие дроби (теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции), то для целых функций существует обобщение разложения на множители — теорема Вейерштрасса о целых функциях.

Пространство целых функций

Все целые функции образуют линейное пространство. Пространство целых функций обозначают как E {displaystyle E} (от слова entire) и E n {displaystyle E_{n}} для случая C n {displaystyle C^{n}} .

(В более новой литературе пространство целых функций обозначается H {displaystyle H} )

Порядок целой функции

Пусть M ( r ) = max | z | = r | f ( z ) | {displaystyle M(r)=max _{|z|=r}left|f(z) ight|}

Целая функция f ( x ) {displaystyle f(x)} называется целой функцией конечного порядка, если существует μ > 0 {displaystyle mu >0} такое, что выполняется асимптотическое неравенство M ( r ) < exp ⁡ ( r μ ) {displaystyle M(r)<exp(r^{mu })} (*)

Порядок целой функции f ( z ) {displaystyle f(z)} — это число ρ ≥ 0 : {displaystyle ho geq 0:} ρ = inf { μ } {displaystyle ho =inf left{mu ight}}

Для целой функции, обладающей конечным порядком p {displaystyle p} и родом q {displaystyle q} справедливо следующее соотношение: p ≤ q ≤ p + 1 {displaystyle pleq qleq p+1} . На самом деле, из конечности одной из характеристик следует конечность второй.

Тип целой функции

Целая функция f ( z ) {displaystyle f(z)} имеет конечный тип при порядке ρ {displaystyle ho } , если ∃ a > 0 {displaystyle exists a>0} , что

M ( r ) < a c . e a r ρ {displaystyle M(r)<_{ac.}e^{ar^{ ho }}}

Тип целой функции f ( z ) {displaystyle f(z)} при порядке ρ {displaystyle ho } - это число σ ≥ 0 {displaystyle sigma geq 0} :

σ = inf { a > 0 : M ( r ) < a c . e a r ρ } {displaystyle sigma =inf left{a>0:M(r)<_{ac.}e^{ar^{ ho }} ight}}

из определения следует что:

σ = lim sup r → ∞ ln ⁡ ( M ( r ) ) r ρ . {displaystyle sigma =limsup _{r ightarrow infty }{frac {ln(M(r))}{r^{ ho }}}.}
  • Если для данного 0 < ρ < ∞ {displaystyle 0< ho <infty } тип f ( z ) {displaystyle f(z)} бесконечен, то говорят, что f ( z ) {displaystyle f(z)} максимального типа.
  • Если 0 < σ < ∞ {displaystyle 0<sigma <infty } , то f ( z ) {displaystyle f(z)} - нормального типа.
  • Если σ = 0 {displaystyle sigma =0} , то f ( z ) {displaystyle f(z)} - минимального типа.
  • Целая функция экспоненциального типа

    Целая функция порядка ρ = 1 {displaystyle ho =1} и нормального типа называется целой функцией экспоненциального типа.

    Пространство ц.ф.э.т. часто обозначают как P {displaystyle P} .

    Функция, ассоциированная по Борелю

    Пусть ц.ф.э.т. представляется в виде:

    f ( z ) = ∑ k = 0 ∞ a k k ! z k {displaystyle f(z)=sum _{k=0}^{infty }{frac {a_{k}}{k!}}z^{k}}

    Каждой ц.ф.э.т. ставится в соответствие функция:

    γ ( t ) = ∑ k = 0 ∞ a k t k + 1 {displaystyle gamma (t)=sum _{k=0}^{infty }{frac {a_{k}}{t^{k+1}}}}

    функцию γ ( z ) {displaystyle gamma (z)} называют ассоциированной по Борелю. Этот ряд сходится при | t | > σ {displaystyle |t|>sigma } , а на границе имеется, по меньшей мере, одна особенность функции γ ( t ) {displaystyle gamma (t)}


    Имя:*
    E-Mail:
    Комментарий: