Спектральная плотность

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

Если процесс x ( t ) {displaystyle x(t)} имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

Функция S x ( f ) = | X ( f ) | 2 {displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2}} характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x ( t ) {displaystyle x(t)} , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной S x ( f ) {displaystyle S_{x}(f)} определяет k x ( τ ) {displaystyle k_{x}( au )} :

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 {displaystyle f=0} и τ = 0 {displaystyle au =0} , имеем

Формула (6) с учётом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x ( f ) d f {displaystyle S_{x}(f)df} можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 {displaystyle f-df/2} до f + d f / 2 {displaystyle f+df/2} . Если понимать под x ( t ) {displaystyle x(t)} случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x ( f ) {displaystyle S_{x}(f)} будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с]. Поэтому S x ( f ) {displaystyle S_{x}(f)} иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 {displaystyle sigma _{x}^{2}} – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x ( f ) {displaystyle S_{x}(f)} называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

• Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

• Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и чётная функция частоты:

• Корреляционная функция k x ( τ ) {displaystyle k_{x}( au )} и энергетический спектр S x ( f ) {displaystyle S_{x}(f)} стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр S x ( f ) {displaystyle S_{x}(f)} тем «уже» корреляционная функция k x ( τ ) {displaystyle k_{x}( au )} , и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.