Предел Лапласа

11.12.2020

Предел Лапласа — максимальное значение эксцентриситета, при котором решение уравнения Кеплера, выраженное в виде ряда по эксцентриситету, сходится. Названо в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа. Приблизительное значение предела Лапласа:

0,662 743 419 349 181 580 974 742 097 109 252 90.

Пояснение

Уравнение Кеплера M = E − ε sin ⁡ E {displaystyle M=E-varepsilon sin E} связывает между собой среднюю аномалию M с эксцентрической аномалией E для тела, движущегося по эллипсу с эксцентриситетом ε. Это уравнение не может быть решено для E через элементарные функции, но теорема Лагранжа об обращении рядов даёт решение в виде степенного ряда от ε:

E = M + sin ⁡ ( M ) ε + 1 2 sin ⁡ ( 2 M ) ε 2 + ( 3 8 sin ⁡ ( 3 M ) − 1 8 sin ⁡ ( M ) ) ε 3 + ⋯ {displaystyle E=M+sin(M),varepsilon +{ frac {1}{2}}sin(2M),varepsilon ^{2}+left({ frac {3}{8}}sin(3M)-{ frac {1}{8}}sin(M) ight),varepsilon ^{3}+cdots }

Радиус сходимости этого степенного ряда (такое число, что при меньших значениях ряд сходится, а при больших — расходится) при значениях константы M, не являющихся целочисленными кратными π, не зависит от выбора M и называется числом (пределом) Лапласа.

Предел Лапласа является решением уравнения

x exp ⁡ ( 1 + x 2 ) 1 + 1 + x 2 = 1. {displaystyle {frac {xexp({sqrt {1+x^{2}}})}{1+{sqrt {1+x^{2}}}}}=1.}

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: