Олимпиадные математические задачи

Олимпиадные задачи в математике — термин для обозначения круга задач, для решения которых обязательно требуется неожиданный и оригинальный подход.

Описание

Олимпиадные задачи получили своё название от популярных соревнований школьников и студентов, так называемых математических олимпиад. Олимпиадные задачи отличаются от остальных школьных задач нестандартностью решений. Цель создания задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как творческий подход, нетривиальное мышление и умение изучить проблему с разных сторон. Не случайно академик А. Н. Колмогоров в своей речи на открытии сравнил работу математика с «чередой решения (порою больших и трудных) олимпиадных задач».

Внешняя простота олимпиадных задач — их условия и решения должны быть понятны любому школьнику — обманчива. Лучшие олимпиадные задачи затрагивают глубокие проблемы из самых разных областей математики. Иногда этой кажущейся простотой пользовались не по назначению: во времена СССР на приёмных экзаменах в ВУЗы с помощью таких задач отсеивали абитуриентов нежелательных национальностей. Неудивительно, что олимпиадные задачи из арсенала таких приёмных комиссий стали называть «гробами».

Победители математических олимпиад имеют льготы при поступлении во многие ВУЗы .

Решение олимпиадных задач может потребовать существенного количества времени даже от сильного (но ненатренированного на их решение) профессионального математика.

Олимпиадные задачи можно найти в Интернете, в периодических изданиях (журналы Квант, Математическое просвещение), а также в виде отдельных сборников. Они широко используются в работе математических кружков, заочных школ и для таких математических соревнований как олимпиады, турниры городов и математические бои.

Большой вклад в популяризацию методов решения олимпиадных задач внесли публикации журнала «Квант», книги серий «Популярные лекции по математике», «Библиотека математического кружка», сборники олимпиадных задач, выпускавшиеся издательствами «Наука», «Просвещение», переводные — издательством «Мир», и другие книги, а также многочисленные веб-сайты, посвящённые олимпиадным задачам.

Примеры

Задача олимпиадного типа, известная со времён Евклида:

Доказать, что существует бесконечно много простых чисел.

Задача решается методом от противного. Предположив, что простых чисел конечное число N, рассматриваем число, следующее за их произведением ( ∏ i = 1 N p i ) + 1 {displaystyle (prod _{i=1}^{N}{p_{i}})+1} . Очевидно, что оно не делится ни на одно из использованных в произведении простых чисел, давая в остатке 1. Значит, либо оно само простое, либо оно делится на простое число, не учтённое в нашем (предположительно полном) списке. В любом случае, простых чисел, по крайней мере, N+1. Противоречие с предположением о конечности. Q.E.D.

Типы задач

Несмотря на уникальность олимпиадных задач, можно всё-таки выделить несколько типичных идей, составляющих суть задач. Разумеется, по определению, такой список будет неполным.

• Задачи на инвариант
• Задачи на взвешивание
• Игра
• Комбинаторика
• Теория графов
• Неравенство
• Геометрия
• Алгебра и теория чисел
• Задачи про рыцарей и лжецов
• Стратегии
• Теорема арифметики

Методы решения

Не существует единого метода решения олимпиадных задач. Напротив, количество методов постоянно пополняется. Некоторые задачи можно решить несколькими разными методами или комбинацией методов. Характерная особенность олимпиадных задач в том, что решение с виду несложной проблемы может потребовать применения методов, использующихся в серьёзных математических исследованиях. Ниже приводится (по определению) неполный список методов решения олимпиадных задач:

• Доказательство от противного
• Принцип Дирихле
• Решение методами другой науки (замена алгебраической задачи геометрической или физической и наоборот)
• Правило крайнего
• Решение задачи с конца
• Поиск инварианта
• Построение контрпримера
• Математическая индукция
• Рекурсия
• Метод итераций
• Подсчёт двумя способами
• Метод аналогий
• Провокационный метод
• Вспомогательное построение
• Переход в пространство большего числа измерений
• Вспомогательная раскраска
• Прыжки Виета
• Подмена лиц
• Метод исключения