Пентатопное число

10.12.2020

Пентатопные числа, называемые также гипертетраэдральными — это фигурные числа, представляющие правильные четырёхмерные симплексы (пентатопы или гипертетраэдры). Пентатопные числа являются четырёхмерным обобщением плоских треугольных и пространственных тетраэдральных чисел.

Определение и общая формула

n {displaystyle n} -е по порядку пентатопное число определяется как сумма первых n {displaystyle n} тетраэдральных чисел.

Начало последовательности пентатопных чисел:

1 , 5 , 15 , 35 , 70 , 126 , 210 , 330 , 495 , 715 , … {displaystyle 1,5,15,35,70,126,210,330,495,715,dots } (последовательность A000292 в OEIS).

Общая формула для n {displaystyle n} -го по порядку пентатопного числа P T n {displaystyle PT_{n}} :

P T n = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) 24 = ( n + 3 4 ) {displaystyle PT_{n}={frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}={n+3 choose 4}}

Пентатопные числа находятся на 5-й диагональной линии в треугольнике Паскаля (см. рисунок), под диагональю тетраэдральных чисел.

Свойства

Два из каждых трёх пентатопных чисел (номера которых не делятся на 3) являются пятиугольными числами.

Ряд из обратных пентатопных чисел сходится:

1 1 + 1 5 + 1 15 + 1 35 ⋯ = 4 3 {displaystyle {frac {1}{1}}+{frac {1}{5}}+{frac {1}{15}}+{frac {1}{35}}dots ={frac {4}{3}}}

Применение

В биохимии пентатопные числа представляют количество возможных расположений n {displaystyle n} различных белковых субъединиц в тетраэдральном белке.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: