Переменные действие — угол

09.12.2020

Переменные действие — угол — пара канонически сопряженных переменных классической механической системы, в которой роль импульса играет переменная действия — адиабатический инвариант.

Образующей функцией для канонического преобразования в новых переменных является функция

S 0 ( q , E ) = ∫ p ( q , E ) d q {displaystyle S_{0}(q,E)=int p(q,E)dq} ,

где E {displaystyle E} — энергия, однозначно связана с адиабатическим инвариантом I {displaystyle I} .

Канонически сопряженная к переменной действия угловая переменная ω {displaystyle omega } определяется как

ω = ∂ S 0 ( q , I ) ∂ I {displaystyle omega ={frac {partial S_{0}(q,I)}{partial I}}} .

Уравнения движения в переменных действие — угол имеют очень простой вид:

I ˙ = 0 {displaystyle {dot {I}}=0} , ω ˙ = d E d I = ν ( I ) {displaystyle {dot {omega }}={frac {dE}{dI}}= u (I)} .

Таким образом, адиабатический инвариант I {displaystyle I} является интегралом движения, а угловая переменная возрастает со временем по линейному закону. За один период угловая переменная увеличивается на 2 π {displaystyle 2pi } . Переменные координата q {displaystyle q} и импульс p {displaystyle p} являются периодическими функциями угловой переменной.

Пример

Найдем переменные действие — угол для гармонического осциллятора

E = 1 2 ( p 2 + ω 2 q 2 ) ⟹ p ( E , q ) = ± 2 E − ω 2 q 2 {displaystyle E={frac {1}{2}}(p^{2}+omega ^{2}q^{2})implies p(E,q)=pm {sqrt {2E-omega ^{2}q^{2}}}} .

По определению

I = 1 2 π ∮ 2 E − ω 2 q 2 d q = 1 π ∫ − 2 E ω 2 E ω 2 E − ω 2 q 2 d q = E ω {displaystyle I={frac {1}{2pi }}oint {sqrt {2E-omega ^{2}q^{2}}}dq={frac {1}{pi }}int _{-{frac {sqrt {2E}}{omega }}}^{frac {sqrt {2E}}{omega }}{sqrt {2E-omega ^{2}q^{2}}}dq={frac {E}{omega }}} .

А значит, производящая функция канонического преобразования имеет вид

S ( I , q ) = ω ∫ q 2 I − x 2 d x {displaystyle S(I,q)=omega int ^{q}{sqrt {2I-x^{2}}}dx}

По определению переменной «угол»

θ = ∂ S ∂ I = ω ∫ q d x 2 I − x 2 = ω arctan ⁡ q 2 I − q 2 ⟹ q = 2 I sin ⁡ θ ω {displaystyle heta ={frac {partial S}{partial I}}=omega int ^{q}{frac {dx}{sqrt {2I-x^{2}}}}=omega arctan {frac {q}{sqrt {2I-q^{2}}}}implies q={sqrt {2I}}sin {frac { heta }{omega }}} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: